Cho \[\Delta ABC\] vuông tại \[A.\] Đường trung trực của đoạn thẳng \[AC\] cắt \[AC\] tại \[H,\] cắt \[BC\] tại \[D.\] Nối \[A\] và \[D\].

Khi đó:

a) Sai.

Xét hai tam giác vuông \[\Delta ABD\] và \[\Delta AEC\] có:

\[AB = AC\] (gt)

\[\widehat A\] chung (gt)

Do đó, \[\Delta ABD = \Delta ACE\] (cạnh huyền – góc nhọn)

b) Đúng.

Vì \[\Delta ABD = \Delta ACE\] (cmt) nên \[AE = AD\] (hai cạnh tương ứng)

Suy ra \[\Delta ADE\] cân tại \[A\].

c) Đúng.

Vì \[\Delta ADE\] cân tại \[A\] nên ta có: \[\widehat {DEA} = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2}\]

Có \[\Delta ABC\] cân tại \[A\] nên ta có: \[\widehat {CBA} = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2}\]

Suy ra \[\widehat {CBA} = \widehat {AED} = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2}\].

Mà hai góc ở vị trí đồng vị nên \[DE\parallel BC.\]

d) Đúng.

Vì \[\Delta ABD = \Delta ACE\] (cm câu a) nên \[\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\] (hai góc tương ứng).

Ta có: \[\widehat {IBC} = \widehat {ABC} - \widehat {ABD};\,\,\,\widehat {ICB} = \widehat {ACB} - \widehat {ACE}\].

Suy ra \[\widehat {IBC} = \widehat {ICB}\].

Do đó \[\Delta IBC\] cân tại \[I.\]

a) Đúng.

Ta có: \[\Delta ABC\] đều nên \[AB = BC = CA\] mà \[AM = BN = CP\].

Suy ra \[AB - AM = BC - BN = CA - CP\] hay \[MB = NC = PA\].

b) Sai.

Xét \[\Delta MBN\] và \[\Delta PCN\] có:

\[\widehat {MBN} = \widehat {NCP} = 60^\circ \]

\[BM = CN\]

\[BN = CP\]

Do đó, \[\Delta MBN = \Delta NCP\] (c.g.c)

Suy ra \[MN = NP\] (1)

d) Đúng.

Xét \[\Delta PAM\] và \[\Delta PCN\], có:

\[\widehat {MAP} = \widehat {NCP} = 60^\circ \]

\[NC = PA\]

\[AM = CP\]

Do đó, \[\Delta PAM = \Delta NCP\] (c.g.c)

Suy ra \[PM = NP\].

d) Đúng.

Từ phần b) và c) có \[PM = NP = MN\], do đó \[\Delta MNP\] đều.