Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\), \(O\) là giao điểm của hai đường trung trực của gau cạnh \(AB\) và \(AC\) \((O\) nằm trong tam giác). Trên tia đối của tia \(BA\) và \(CA\) ta lấy hai điểm \(M,\,\,N\) sao cho \(BM = CN\). Đường trung trực của \(OM,\,\,ON\) cắt nhau tại \(I\).

Khi đó:

a) Đúng.

Vì \(O\) là giao điểm hai đường trung trực của \(AB\) và \(AC\) nên \(O\) cách đều ba đỉnh trong \(\Delta ABC\).

Do đó \(OA = OB = OC\).

Mà theo giả thiết, có: \(OB = OD.\)

Suy ra \(OA = OD\) nên \(O\) thuộc trung trực của \(AD\).

Và \(OC = OD\) nên \(O\) thuộc trung trực của \(CD\).

b) Đúng.

Vì \(OA = OB = OD\) hay ta có \(AO = \,\frac{1}{2}BD\).

Có đường trung tuyến \(AO\) trong tam giác \(\Delta ADB\) bằng một nửa cách \(DB\) nên \(\Delta ADB\) vuông tại \(A\).

c) Đúng.

Ta có: \(\Delta BOC\) cân tại \(O\) nên \(\widehat {BCO} = \frac{{180^\circ - \widehat {BOC}}}{2}\).

\(\Delta COD\)cân tại \(O\) nên \(\widehat {DCO} = \frac{{180^\circ - \widehat {DOC}}}{2}\).

Do đó, \(\widehat {BCD} = \widehat {DCO} + \widehat {BCO} = \frac{{180^\circ - \widehat {DOC} + 180^\circ - \widehat {BOC}}}{2} = \frac{{360^\circ - \widehat {BOD}}}{2} = \frac{{360^\circ - 180^\circ }}{2} = 90^\circ \).

Do đó, \(\widehat {BCD} = 90^\circ \).

d) Sai.

Có \(\Delta ABD\) vuông tại \(A\) nên \(\widehat {ADB} = 90^\circ - \widehat {ABD}\).

\(\Delta BCD\) vuông tại \(C\) nên \(\widehat {BDC} = 90^\circ - \widehat {CBD}\).

Do đó, \[\widehat {ADO} + \widehat {ODC} = 180^\circ - \left( {\widehat {ABO} + \widehat {CBO}} \right)\]

Suy ra \(\widehat {ADC} = 180^\circ - \widehat {ABC} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \).

a) Đúng.

Vì điểm \(O\) là giao điểm các đường trung trực của \(\Delta ABC\) nên \(O\) thuộc đường trung trực của \(BC.\)

\(\Delta ABC\) cân tại \(A\), suy ra \(AB = AC\) nên \(A\) thuộc đường trung trực của \(BC.\)

Do đó, \(OA\) là đường trung trực của \(BC.\)

b) Sai.

Xét \(\Delta HBD\) và \(\Delta ECK\) có:

\(\widehat {BHD} = \widehat {CKE} = 90^\circ \)

\(BH = CK\)

\(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (\(\Delta ABC\) cân tại \(A\))

Do đó, \(\Delta HBD = \Delta KCE\) (g.c.g)

c) Đúng.

Vì \(\Delta HBD = \Delta KCE\) (cmt) nên \(BD = CE\) (hai cạnh tương ứng).

d) Đúng.

\(\Delta HBD = \Delta KCE\) (cmt) suy ra \(\widehat {HDB} = \widehat {KEC}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {ODE},\,\,\widehat {OED}\) lần lượt là hai góc đối đỉnh với \(\widehat {HDB},\,\,\widehat {KEC}\).

Suy ra \(\widehat {ODE} = \widehat {OED}\).

Do đó, \(\Delta ODE\) cân tại \(O.\)