Cho hàm số

  \[y = {x^3} - 3{x^2} - ({m^2} - 2)x + {m^2}\quad ({C_m})\]

Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt A,B,C \(({x_A} < {x_B} < {x_C})\) và có hai điểm cực trị M,N.

Tìm số giá trị của \(m\) để:    \[MN = AC\]

Phương pháp giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm, ứng dụng định lý Viet

Giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm với trục hoành:

  \[{x^3} - 3{x^2} - ({m^2} - 2)x + {m^2} = 0\]

  \[ \Leftrightarrow (x - 1)({x^2} - 2x - {m^2}) = 0\]

  \[ \Rightarrow x = 1,\quad x = 1 \pm \sqrt {1 + {m^2}} \]

Suy ra:

  \[AC = 2\sqrt {1 + {m^2}} \]

Ta có:

  \[y' = 3{x^2} - 6x - {m^2} + 2\]

  \[y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - {m^2} + 2 = 0\]

Áp dụng Vi-et:

  \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2}\\{{x_1}{x_2} = \frac{{2 - {m^2}}}{3}}\end{array}} \right.\]

Tính được:

  \[M{N^2} = \frac{4}{3}(1 + {m^2}) + \frac{{16}}{{27}}{(1 + {m^2})^3}\]

Điều kiện \(MN = AC\):

  \[\frac{4}{3}(1 + {m^2}) + \frac{{16}}{{27}}{(1 + {m^2})^3} = 4(1 + {m^2})\]

  \[ \Leftrightarrow {(1 + {m^2})^2} = \frac{9}{2}\]

  \[ \Rightarrow m =  \pm \sqrt {\frac{3}{2} - 1} \]

Có 2 giá trị của \(m\).

Mở rộng:

·        Công thức tổng quát: Phương trình bậc ba có 3 nghiệm phân biệt → dùng định lý Viét để liên hệ nghiệm.

o   Tổng nghiệm: \({x_1} + {x_2} + {x_3} =  - \frac{b}{a}\)

o   Tổng tích đôi một: \({x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} = \frac{c}{a}\)

o   Tích nghiệm:  \({x_1}{x_2}{x_3} =  - \frac{d}{a}\)

·        Xét điều kiện có 2 cực trị → kiểm tra số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm, từ đó tìm số giá trị tham số.