Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh \(a\), \(SA \bot (ABCD)\) và    \[SA = a\sqrt 3 \]

Tính khoảng cách từ \(D\) đến mặt phẳng \((SBC)\).

Phương pháp giải

Tìm khoảng cách thông qua điểm A.

Giải chi tiết:

Vì \(BC \bot SA\) và \(BC \bot AB\) nên:

  \[BC \bot (SAB) \Rightarrow (SBC) \bot (SAB)\]

Kẻ \(AH \bot SB\) thì:

  \[AH \bot (SBC)\]

Do \(AD\parallel BC\) nên:

  \[d(D,(SBC)) = d(A,(SBC)) = AH\]

  \[AH = \frac{{SA \cdot AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3  \cdot a}}{{\sqrt {3{a^2} + {a^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]

Mở rộng:

• Công thức tổng quát: Khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( {Ax + By + Cz + D = 0} \right):\)

  \(d = \frac{{\left| {A{x_0}{\rm{ + }}B{y_0}{\rm{ + }}C{z_0}{\rm{ + }}D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)

• Với hình chóp, thường phải dựng đường vuông góc từ điểm đến mặt phẳng rồi áp dụng công thức khoảng cách.