Cho dãy số:

  \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = \sqrt 2 }\\{{u_{n + 1}} = \sqrt {{u_n} + 2} }\end{array}} \right.\]

Dãy số bị chặn trên bởi \(a\). Tìm \(a\).

Phương pháp giải:

Chứng minh dãy tăng và bị chặn trên.

Giải chi tiết:

Ta có:

  \[{u_n} < 2,\;\forall n\]

Thật vậy, nếu tồn tại \({u_n} \ge 2\) thì:

  \[{u_{n - 1}} \ge 2, \ldots ,{u_1} \ge 2\]

mâu thuẫn với \({u_1} = \sqrt 2 < 2\).

Xét:

  \[{u_{n + 1}} - {u_n} = \sqrt {{u_n} + 2} - {u_n} = \frac{{(2 - {u_n})(1 + {u_n})}}{{\sqrt {{u_n} + 2} + {u_n}}} > 0\]

Suy ra \(({u_n})\) tăng và bị chặn trên bởi \(2\).

Mở rộng:

·        Công thức tổng quát: Dãy số bị chặn trên → chứng minh dãy tăng và bị chặn, giới hạn chính là cận trên.

o   Nếu tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn.

o   Nếu giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn.

o   Giá trị giới hạn: Nếu tồn tại \({\rm{lim}}{u_n} = L\), ta tìm \(L\;\)bằng cách giải phương trình thu được từ hệ thức truy hồi khi thay \({u_n}\;\)và \({u_{n + 1}}\;\)thành \(L\). 

·        Dùng bất đẳng thức để chứng minh dãy tăng, sau đó tìm giới hạn.