Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.

Gọi M là điểm thuộc cạnh SD sao cho:

  \[SM = \frac{2}{3}SD.\]

Mặt phẳng chứa AM và song song với BD cắt cạnh SC tại K.

Tính tỉ số:                            \[\frac{{SK}}{{SC}}.\]

 Phương pháp giải

Xác định thiết diện thông qua quan hệ song song và áp dụng định lý Menelaus trong tam giác thích hợp.

Giải chi tiết:

Gọi mặt phẳng chứa AM và song song với BD là \((\alpha )\).

Xét mặt phẳng (SBD), do \((\alpha )\parallel BD\)nên giao tuyến của \((\alpha )\)với \((SBD)\) là đường thẳng qua M và song song với BD.

Gọi \((N = (\alpha ) \cap SB).\)

Khi đó:

  \[MN\parallel BD.\]

Áp dụng định lý Thales trong tam giác SBD:

  \[\frac{{SN}}{{SB}} = \frac{{SM}}{{SD}} = \frac{2}{3}.\]

Xét tam giác SOC, đường thẳng NK là giao tuyến của hai mặt phẳng và cắt các cạnh SO, SC.

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác SOC, suy ra:

  \[\frac{{SK}}{{SC}} = \frac{1}{2}.\]

Vậy:                                   \[\frac{{SK}}{{SC}} = \frac{1}{2}.\]

Mở rộng:

·        Công thức tổng quát: Trong hình chóp, mặt phẳng song song → áp dụng định lý Thales hoặc Menelaus để tính tỉ số.

·        Xác định giao tuyến, áp dụng định lý trong tam giác thích hợp để tìm tỉ số đoạn.