Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \[A(1;1;3),\quad B(5;2; - 1)\] và hai điểm M, N thay đổi thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho điểm    \[I(1;2;0)\] luôn là trung điểm của MN.

Tính \[T = 2{x_M} - 4{x_N} + 7{y_M} - {y_N}\] khi biểu thức                  \[P = M{A^2} + 2N{B^2} + \overrightarrow {MA}  \cdot \overrightarrow {NB} \] đạt giá trị nhỏ nhất.

Phương pháp giải

Đặt tọa độ điểm M và N theo hệ thức trung điểm, sau đó thay vào P và đánh giá biểu thức P.

Giải chi tiết:

Giả sử:

  \[M(1 - x;{\mkern 1mu} 2 - y;{\mkern 1mu} 0),\quad N(1 + x;{\mkern 1mu} 2 + y;{\mkern 1mu} 0),\quad {x^2} + {y^2} \ne 0.\]

Khi đó:

  \[P = {x^2} + {(y - 1)^2} + 9 + 2({x^2} - 8x + {y^2} + 7) + x(4 - x) - y(y - 1) - 3\]

  \[ = 2{x^2} - 12x + 2{y^2} + 41\]

  \[ = 2{(x - 3)^2} + 2{\left( {y - \frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{{183}}{8} \ge \frac{{183}}{8}.\]

Vậy:

  \[{P_{\min }} = \frac{{183}}{8} \Leftrightarrow x = 3,\;y = \frac{1}{4}.\]

Suy ra:

  \[M\left( { - 2;{\mkern 1mu} \frac{7}{4};{\mkern 1mu} 0} \right),\quad N\left( {4;{\mkern 1mu} \frac{9}{4};{\mkern 1mu} 0} \right) \Rightarrow T = - 10.\]

Đáp án:-10.

Mở rộng:

·        Công thức tổng quát: Với bài toán tọa độ, đặt M(x,y,0), N(x’,y’,0) sao cho P là trung điểm → thay vào biểu thức cần tối ưu.

·        Biểu thức thường đưa về dạng bậc hai, tìm GTNN bằng cách hoàn thành bình phương.