Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật với \[AB = 3,\quad BC = 4,\] tam giác SAC nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, \[d(C;SA) = 4.\]

Tính côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SAC).

Giải chi tiết

Ta có \((SAC) \bot (ABCD)\)

Kẻ \(BH \bot AC{\rm{ ,}}H \in AC \Rightarrow BH \bot (SAC).\)

Kẻ \((HE \bot SA){\rm{ }}(E \in SA){\rm{ }} \Rightarrow BH \bot HE,\;BE \bot SA.\)

Suy ra góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) bằng góc \(\angle BEH.\)

Xét tam giác ABC vuông tại B, có

  \[BH \bot AC\;(H \in AC).\]

Suy ra:

  \[BH = \frac{{BA \cdot BC}}{{\sqrt {B{A^2} + B{C^2}} }} = \frac{{3 \cdot 4}}{{\sqrt {9 + 16} }} = \frac{{12}}{5}.\]

Ta có:

  \[AH \cdot AC = A{B^2} \Rightarrow \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{9}{{25}}.\]

Suy ra:

  \[\frac{{d(H;SA)}}{{d(C;SA)}} = \frac{9}{{25}} \Rightarrow \frac{{HE}}{4} = \frac{9}{{25}} \Rightarrow HE = \frac{{36}}{{25}}.\]

Xét tam giác BHE vuông tại H, ta có:

  \[\tan \angle BEH = \frac{{BH}}{{HE}} = \frac{5}{3}.\]

Do đó:

  \[\cos \angle BEH = \frac{1}{{\sqrt {1 + {{\tan }^2}\angle BEH} }} = \frac{1}{{\sqrt {1 + \frac{{25}}{9}} }} = \frac{{3\sqrt {34} }}{{34}}.\]

Mở rộng:

·        Công thức tổng quát: Góc giữa hai mặt phẳng = góc giữa hai vectơ pháp tuyến.

  \({\rm{cos}}\varphi  = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \left|  \cdot  \right|\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {{A_1}{A_2}{\rm{ + }}{B_1}{B_2}{\rm{ + }}{C_1}{C_2}} \right|}}{{\sqrt {A_1^2 + B_1^2 + C_1^2}  \cdot \sqrt {A_2^2 + B_2^2 + C_2^2} }}\)

·        Dựng tam giác vuông trong đáy để tính cos góc chính xác.