Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;1;1), mặt phẳng

  \[(P):x + y + z - 3 = 0\]

và đường thẳng

  \[d:\;\frac{{x - 2}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}.\]

Xét đường thẳng \(\Delta \) qua A, nằm trong (P) và cách đường thẳng d một khoảng cách lớn nhất.

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm nào dưới đây?

Phương pháp giải:

Xác định phương trình đường thẳng \(\Delta \)

Giải chi tiết:

Gọi H(x;y;z) là hình chiếu vuông góc của A trên d.

Ta có:

  \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{H \in d}\\{\overrightarrow {AH}  \cdot \overrightarrow {{u_d}}  = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{x - 2}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}}\\{(x - 1) + 2(y - 1) - (z - 1) = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow H(2;0;0).\]

Khi đó:

  \[d(\Delta ,d) \le AH = \sqrt 3 .\]

Dấu bằng xảy ra khi \(\Delta  \bot AH\) và \(\Delta  \subset (P)\)

Suy ra vectơ chỉ phương của \((\Delta ):\)

  \[\overrightarrow {{u_\Delta }}  = [\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {{n_P}} ] = (0; - 2;2).\]

Phương trình \((\Delta ):\)

  \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 1 - 2t}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.\;(t \in \mathbb{R}).\]

Đường thẳng đi qua N(1;-1;3).

Mở rộng:

·        Công thức tổng quát: Khoảng cách giữa đường thẳng và điểm → dùng hình chiếu vuông góc.

·        Đường thẳng qua A, nằm trong (P), cách d xa nhất → chính là đường thẳng song song với pháp tuyến của d trong (P).