Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:ax - y + 5 = 0\) và \({\Delta _2}:x + y + 1 = 0\). Có bao nhiêu giá trị của \(a\) để \({\Delta _1}\) tạo với \({\Delta _2}\) một góc \(60^\circ \)?

Hướng dẫn giải

Trả lời: 10

Đường thẳng \(\Delta \) song song \(d\) có phương trình \(2x + 6y + d = 0\left( {d \ne 3} \right)\).

Vì \(\Delta \) đi qua \(M\left( {1;\;2} \right)\) nên \(2.1 + 6.2 + d = 0 \Leftrightarrow d =  - 14\).

Suy ra \(\Delta :2x + 6y - 14 = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 7 = 0\).

Do đó \(a = 1;b = 3\). Do đó \({a^2} + {b^2} = 10\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) Vì \(AH \bot BC\) nên \(\overrightarrow {BC} \) là một vectơ pháp tuyến của đường cao \(AH\).

b) Ta có \(\overrightarrow {BC}  = \left( {4;4} \right) = 4\left( {1;1} \right)\).

Đường cao \(AH\) đi qua \(A\left( {1;1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 2 = 0\).

c) Đường thẳng \(BC\) đi qua \(B\left( {0; - 2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {BC} \) nên sẽ nhận \(\overrightarrow n  = \left( { - 1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là \( - x + \left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow  - x + y + 2 = 0\).

d) \(H\) là giao điểm của \(AH\) và \(BC\) nên tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 2 = 0\\x - y - 2 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\end{array} \right.\). Vậy tọa độ điểm \(H\left( {2;0} \right)\).