Cho hàm số

                         \[f(x) = - {x^4} + 4{x^2} + m\quad (m > 0).\]

Giá trị của tham số \(m\) thuộc những khoảng nào dưới đây để đường thẳng \(y = 8\) cắt đồ thị hàm số \(y = |f(x)|\) tại \(4\) điểm phân biệt?

Đáp án đúng: D.

Giải chi tiết:

Vì \(m > 0\) nên đồ thị hàm số

                                         \[f(x) = - {x^4} + 4{x^2} + m\]

thu được bằng cách tịnh tiến đồ thị \(y = - {x^4} + 4{x^2}\) lên trên \(m\) đơn vị.

Để đường thẳng \(y = 8\) cắt đồ thị \(y = |f(x)|\) tại \(4\) điểm phân biệt, thì \(y = 8\) phải cắt đồ thị \(y = f(x)\) tại \(4\) điểm phân biệt, tức là phương trình

                                        \[f(x) = 8{\rm{ }}\left( * \right)\]

phải có \(4\) nghiệm phân biệt.

 Ta có:

                                \[f'(x) = - 4{x^3} + 8x = - 4x({x^2} - 2).\]

Suy ra các điểm cực trị:

                                  \[x = - \sqrt 2 ,\]\[x = 0,\]\[x = \sqrt 2 .\]

Giá trị hàm số tại các điểm cực trị:

                                   \[f( \pm \sqrt 2 ) = 4 + m,\]\[f(0) = m.\]

Để phương trình \((*)\) có \(4\) nghiệm phân biệt thì:

                                                    \[m < 8 < 4 + m.\]

Suy ra:

                                                        \[4 < m < 8.\]

Đối chiếu với các phương án, ta thấy:

                                                 \[(5;8) \subset (4;8),\]

Vậy các khoảng thỏa mãn là D

Đáp án cần chọn: D.