Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh bằng \(a\), tâm \(O\) và \[SO \bot \left( {ABCD} \right)\]. Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm \(SA\) và \(BC\). Biết góc giữa \(MN\) và mặt phẳng  là \(60^\circ \).

a) Tính độ dài \(MN\).

b) Tính cosin của góc giữa \(MN\) và \(\left( {SBD} \right)\).

Hướng dẫn giải

a) Gọi \(H\) là hình chiếu của \(M\) trên \[\left( {ABCD} \right)\]\( \Rightarrow H\) là trung điểm của \(AO\).

Suy ra \(CH = \frac{3}{4}AC\).

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh a nên \(AC = a\sqrt 2 \).

Áp dụng định lí côsin vào tam giác \(CHN\), ta có

\(H{N^2} = C{H^2} + C{N^2} - 2.CH.CN.c{\rm{os}}{45^0}\)\( = {\left( {\frac{3}{4}.a\sqrt 2 } \right)^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} - 2.\frac{3}{4}.a\sqrt 2 .\frac{a}{2}.\frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{5{{\rm{a}}^2}}}{8}\).

Vì \(M,H\) lần lượt là trung điểm của \(SA,AO\) nên \(MH//SO\).

Mà \[SO \bot \left( {ABCD} \right)\] nên \[MH \bot \left( {ABCD} \right)\].

Suy ra \(HN\) là hình chiếu của \(MN\) trên \[\left( {ABCD} \right)\]

\( \Rightarrow \left( {MN,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {MN,HN} \right) = \widehat {MNH} = 60^\circ \).

Xét \(\Delta MHN\) vuông tại \(H\), có

\({\rm{cos}}\widehat {MNH} = \frac{{HN}}{{MN}}\)\( \Rightarrow MN = \frac{{HN}}{{{\rm{cos}}\widehat {MNH}}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 5 }}{{2\sqrt 2 }}}}{{c{\rm{os}}60^\circ }} = \frac{{a\sqrt {10} }}{2}\).

Vậy \(MN = \frac{{a\sqrt {10} }}{2}\).

b) Gọi \(E\) là trung điểm của \(SD\) mà \(M\)là trung điểm của \(SA\) nên \(ME//AD;ME = \frac{1}{2}AD\) (1).

Có \(CN//AD,CN = \frac{1}{2}AD\) (2).

Từ (1) và (2), suy ra \(MECN\) là hình bình hành.

 Suy ra \(MN//CE\)\( \Rightarrow \left( {MN,\left( {SBD} \right)} \right) = \left( {EC,\left( {SBD} \right)} \right)\).

Có \(CO \bot \left( {SBD} \right)\)\( \Rightarrow OE\) là hình chiếu của \(CE\) trên \(\left( {SBD} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {EC,\left( {SBD} \right)} \right) = \left( {EC,EO} \right) = \widehat {CEO}\)

Trong tam giác vuông \(CEO\) có \(\cos \widehat {CEO} = \frac{{EO}}{{EC}}\)

Có \(EC = MN = \frac{{a\sqrt {10} }}{2}\) (do \(MECN\)là hình bình hành)

\(EO = \frac{1}{2}SB\)

Xét tam giác vuông \(HMN\) có \(\sin \widehat {MNH} = \frac{{MH}}{{MN}} \Rightarrow MH = MN.\sin \widehat {MNH} = \frac{{a\sqrt {10} }}{2}.\sin {60^0} = \frac{{a\sqrt {30} }}{4}\)

\( \Rightarrow SO = 2MH = \frac{{a\sqrt {30} }}{2}\).

Xét tam giác vuông \(SOB\) vuông tại \(B\) có \(S{B^2} = S{O^2} + O{B^2} = {\left( {\frac{{a\sqrt {30} }}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{a}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} = 8{{\rm{a}}^2}\)\( \Rightarrow SB = 2{\rm{a}}\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow OE = a\sqrt 2 \)

Do đó \(\cos \widehat {CEO} = \frac{{EO}}{{EC}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{\frac{{a\sqrt {10} }}{2}}} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\).