Tại một thành phố, người ta thực hiện xét nghiệm đại trà để phát hiện Virus X. Qua thống kê, tỉ lệ người dân có kết quả xét nghiệm Dương tính (được máy báo là nhiễm bệnh) là \(12\% \). Tuy nhiên, xét nghiệm không chính xác tuyệt đối:

·     Trong số những người có kết quả Dương tính, có \(5\% \) thực chất là không nhiễm bệnh.

·     Trong số những người có kết quả Âm tính (máy báo không nhiễm), có \(2\% \) thực chất là đang nhiễm bệnh.

Chọn ngẫu nhiên một người vừa thực hiện xét nghiệm:

Đáp án: 15,8

Gọi \(K\) là trung điểm của \(CD\) và \(H = SK \cap C'D'\) khi đó \(H\) là trung điểm \(C'D'\). Do đó, \(IH\) là đường cao của hình thang cân \(ABC'D'\).

Gắn hệ trục \(Oxyz\) sao cho tia \(IB\), \(IH\) và \[IS\] lần lượt trùng với \[Ox,Oy,Oz\].

Suy ra, \(A\left( { - 1;0;0} \right)\), \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(S\left( {0;0;4} \right)\)

Đặt \(\left( {\left( {ABCD} \right),\left( {Oxy} \right)} \right) = \alpha \), khi đó \(\widehat {KIH} = \alpha \).

Khi đó, \(K\left( {0;3\cos \alpha ;3\sin \alpha } \right)\), \(H\left( {0;4,5;0} \right)\).

Ta lại có, \(S,K,H\) thẳng hàng nên \(\overrightarrow {SK}  = t.\overrightarrow {SH}  = \) hay \(\left\{ \begin{array}{l}3\cos \alpha  = t.4,5\\3\sin \alpha  - 4 =  - 4.t\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{14}}{{29}}\\t = \frac{2}{5}\end{array} \right.\)

+ Với \(t = \frac{{14}}{{29}}\) thì \(SK = \frac{{14}}{{29}}SH\) nên \(\frac{{CD}}{{C'D'}} = \frac{{SK}}{{SH}} = \frac{{14}}{{29}} \Rightarrow C'D' = \frac{{29}}{7}\).

Suy ra \({S_{ABC'D'}} = \frac{{\left( {2 + \frac{{29}}{7}} \right).4,5}}{2} \approx 13,821\).

+ Với \(t = \frac{2}{5}\) thì \(SK = \frac{2}{5}SH\) nên \(\frac{{CD}}{{C'D'}} = \frac{{SK}}{{SH}} = \frac{2}{5} \Rightarrow C'D' = 5\).

Suy ra \({S_{ABC'D'}} = \frac{{\left( {2 + 5} \right).4,5}}{2} = 15,75 \approx 15,8\).

Vậy \(\max {S_{ABC'D'}} \approx 15,8\) \({m^2}\).

Đáp án: 37,1

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) hình vẽ

Ta có \(AB = 9\); \(BC = 3\).

Điểm \(C\left( {12;3;3} \right)\).

Điểm \(O\left( {x;y;4} \right);2 \le x \le 12;0 \le y \le 8\).

Điểm \(D\left( {0;8;3} \right)\). Điểm \(E\left( {0;0;z} \right);F\left( {0;0;z + 2} \right);0 \le z \le 8\)

Ta tính \(CO = \sqrt {{{\left( {x - 12} \right)}^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2} + 1} \).

\(DO = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 8} \right)}^2} + 1} \)

\(DE = \sqrt {{8^2} + {{\left( {z - 3} \right)}^2}} \)

\(EF = 2;FG = 8 - z;GH = 0,5\)

Vì vậy tổng độ dài dây điện là

\(\begin{array}{l}AB + BC + CO + OD + ED + EF + FG + GH\\ = 22,5 + \sqrt {{{\left( {x - 12} \right)}^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2} + 1}  + \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 8} \right)}^2} + 1}  + \sqrt {{8^2} + {{\left( {z - 3} \right)}^2}}  - z\end{array}\).

Vì vậy tổng độ dài là ngắn nhất nếu cả hai điều sau xảy ra

\({\left( {CO + OD} \right)_{\min }};{\left( {ED + FG} \right)_{\min }}\).

Vì \(C,D\)nằm cùng phía với mái che, nên ta lấy điểm \(C'\left( {12;3;5} \right)\) điểm đối xứng với \(C\) qua mặt phẳng mái che.

Đường thẳng \(DC':\left\{ \begin{array}{l}x = 12t\\y = 8 - 5t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\), giao với mặt phẳng mái che tại điểm O cần tìm là \(O\left( {6;\frac{{11}}{2};4} \right)\).

Xét hàm số \(f\left( z \right) = \sqrt {{8^2} + {{\left( {z - 3} \right)}^2}}  - z;z \in \left[ {0;8} \right]\). Ta có đạo hàm

\(f'\left( z \right) = \frac{{\left( {z - 3} \right)}}{{\sqrt {{8^2} + {{\left( {z - 3} \right)}^2}} }} - 1 < 0\). Suy ra \(f\left( z \right) \ge \sqrt {{8^2} + {{\left( {8 - 3} \right)}^2}}  - 8\).

Vì vậy khoảng cách ngắn nhất là

\( = 22,5 + \sqrt {{{12}^2} + {5^2} + {2^2}}  + \sqrt {{8^2} + {{\left( {8 - 3} \right)}^2}}  - 8 \approx 37,1\).