Một người cần làm một cái của cổng, có hình dạng một parabol bậc hai như hình vẽ. Giả sử đặt cánh cổng vào một hệ trục tọa độ như hình vẽ (mặt đất là trục Ox). Hãy tính diện tích của cánh cửa cổng.

                       

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

a) \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 5x - 7}}{x} = x + 5 - \frac{7}{x}\).

b) \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7\ln \left| x \right| + C\).

c) Theo câu b, ta có \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7\ln \left| x \right| + C\) mà \(F\left( 1 \right) = 5\) nên \(\frac{{{1^2}}}{2} + 5.1 - 7\ln \left| 1 \right| + C = 5\)\( \Leftrightarrow C = \frac{1}{2}.\)

Do đó \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7\ln \left| x \right| + \frac{1}{2}\).

d) Theo câu b, ta có \(G\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7\ln \left| x \right| + C\).

Suy ra \(G\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7\ln x + {C_1}{\rm{ khi}}\;x \ge 0\\\frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7\ln \left( { - x} \right) + {C_2}{\rm{ khi}}\;x < 0\end{array} \right.\).

Vì \(G\left( 1 \right) = 4\) nên \(\frac{{{1^2}}}{2} + 5.1 - 7\ln 1 + {C_1} = 4 \Leftrightarrow {C_1} = - \frac{3}{2}\).

Suy ra \(G\left( 3 \right) = \frac{{{3^2}}}{2} + 5.3 - 7\ln 3 - \frac{3}{2} = 18 - 7\ln 3\). Suy ra \(G\left( { - 9} \right) = 2 + 7\ln 3\).

Do đó \(G\left( { - 9} \right) = \frac{{{{\left( { - 9} \right)}^2}}}{2} + 5.\left( { - 9} \right) - 7\ln 9 + {C_2} = 2 + 7\ln 3\)\( \Rightarrow {C_2} = \frac{{13}}{2} + 21\ln 3\).

Do đó \(G\left( { - 6} \right) = \frac{{{{\left( { - 6} \right)}^2}}}{2} + 5.\left( { - 6} \right) - 7\ln 6 + \frac{{13}}{2} + 21\ln 3\)\( = - 7\ln 2 + 14\ln 3 - \frac{{11}}{2}\).

Suy ra \(a = - 7;b = 14;c = - \frac{{11}}{2}\). Do đó \(a + b + c = \frac{3}{2}\).

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) Đ

a) Do \(OB\) đi qua gốc tọa độ và tạo với \(Ox\) một góc \(\frac{\pi }{4}\) nên \(OB:y = x.\tan \frac{\pi }{4} = x\).

Khi đó thể tích của khối \(\beta \) theo \(V = \pi \int\limits_0^a {{x^2}dx} = \left. {\frac{{\pi {x^3}}}{3}} \right|_0^a = \frac{{\pi {a^3}}}{3}\).

b) Do \(OB\) đi qua gốc tọa độ và tạo với \(Ox\) một góc \(\frac{\pi }{6}\) nên \(OB:y = x.\tan \frac{\pi }{6} = \frac{x}{{\sqrt 3 }}\).

Khi đó, thể tích của khối \(\beta \) theo \(V = \pi \int\limits_0^a {{{\left( {\frac{x}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^a {\frac{{{x^2}}}{3}dx} = \left. {\frac{{\pi {x^3}}}{9}} \right|_0^a = \frac{{\pi {a^3}}}{9}\).

c) Do \(OB\) đi qua gốc tọa độ và tạo với \(Ox\) một góc \(\alpha \) nên \(OB:y = x.\tan \alpha \).

Khi đó, thể tích của khối \(\beta \) theo \(V = \pi \int\limits_0^a {{{\left( {x.\tan \alpha } \right)}^2}dx} = \left. {\frac{{\pi {x^3}{{\tan }^2}\alpha }}{3}} \right|_0^a = \frac{{\pi .{a^3}{{\tan }^2}\alpha }}{3}\).

ta có \(\frac{{\pi .{a^3}{{\tan }^2}\alpha }}{3} = \frac{{4\pi {a^3}}}{3} \Leftrightarrow {\tan ^2}\alpha = 4 \Rightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = {\tan ^2}\alpha + 1 = 5\)\( \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{ \pm 1}}{{\sqrt 5 }}\).

Mặt khác \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\) nên \(\cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\).

d) Do \(\tan \alpha = \cot \alpha \Rightarrow {\tan ^2}\alpha = \cot \alpha .\tan \alpha = 1 \Leftrightarrow \tan \alpha = \pm 1\).

Mặt khác \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\) nên \(\tan \alpha = 1\).

Theo câu c, ta có \(V = \frac{{\pi .{a^3}{{\tan }^2}\alpha }}{3}\) mà \(\tan \alpha = 1\) nên \(V = \frac{{\pi {a^3}}}{3}\).