Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz,\] cho điểm \(M\left( {2;3;\, - 1} \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right):\frac{x}{2} = \frac{y}{4} = \frac{{z - 3}}{1}.\) Gọi \(\Delta \) là đường thẳng qua \(M\), vuông góc và cắt d. Viết phương trình của \(\Delta .\) 

Trả lời: 70

Chiều cao của vòm bằng \(R + d\left( {I,\left( {Oxy} \right)} \right)\)\( = 50 + \frac{{\left| {20} \right|}}{{\sqrt {{1^2}} }} = 70\).

Đáp án đúng là: A

Tâm \(I \in d \Rightarrow I\left( {1 + t;1 + 2t; - 2 + t} \right)\).

 \(\overrightarrow {AI} = \left( {3 + t; - 3 + 2t; - 3 + t} \right);{\rm{ }}\overrightarrow {BI} = \left( { - 1 + t;1 + 2t; - 5 + t} \right)\)

Vì \(\left( S \right)\) đi qua \(A,B\) nên ta có

\[\begin{array}{l}IA = IB \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2} \Leftrightarrow {\left( {3 + t} \right)^2} + {\left( { - 3 + 2t} \right)^2} + {\left( { - 3 + t} \right)^2} = {\left( { - 1 + t} \right)^2} + {\left( {1 + 2t} \right)^2} + {\left( { - 5 + t} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4t = 0 \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow \overrightarrow {IA} = \left( {3; - 3; - 3} \right)\end{array}\]

Vậy bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\): \(R = IA = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = 3\sqrt 3 .\)