Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y + z - {m^2} - 3m = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để mặt phẳng \(\left( P \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\).    

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Giả sử đường bay của máy bay số 1 là \(\left( {{\Delta _1}} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 20 + 2t\\y = 20 + t\\z = - 10 - t\end{array} \right.\) có \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;1; - 1} \right)\) và đường bay của máy bay số 2 thỏa mãn \(\left( {30 + t';20 + t', - 10 - t'} \right) \in {\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 30 + t'\\y = 20 + t'\\z = - 10 - t'\end{array} \right.\) có \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;1; - 1} \right)\).

Ta có \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + 1.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

b) Kể từ thời điểm xuất phát, để hai máy bay gần nhau nhất thì hai máy bay phải gần tọa độ giao điểm của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).

Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}20 + 2t = 30 + t'\\20 + t = 20 + t'\\ - 10 - t = - 10 - t'\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2t - t' = 10\\t - t' = 0\\ - t + t' = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow t = t' = 10\).

Vậy sau 10 giờ thì hai máy bay gần nhau nhất.

c) Nếu máy bay số một vẫn ở phi trường thì thời điểm lúc đó là 0 giờ \( \Rightarrow t = 0\) thay vào phương trình đường thẳng \({\Delta _1}\) ta được $\left\{\begin{array}{l}x=20+2.0\\ y=20+0\\ z=-10-0\end{array}\right.$ $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=20\\ y=20\\ z=-10\end{array}\right.$

Suy ra vị trí tọa độ của máy bay là \(\left( {20;20; - 10} \right)\).

d) Vị trí tọa độ máy bay số 2 sau 5 giờ là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 30 + 5\\y = 20 + 5\\z = - 10 - 5\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 35\\y = 25\\z = - 15\end{array} \right.\).

Trả lời: 70

Chiều cao của vòm bằng \(R + d\left( {I,\left( {Oxy} \right)} \right)\)\( = 50 + \frac{{\left| {20} \right|}}{{\sqrt {{1^2}} }} = 70\).