Một căn bệnh có 1% dân số mắc phải. Một phương pháp chuẩn đoán được phát triển có tỷ lệ chính xác là 99%. Với những người bị bệnh, phương pháp này sẽ đưa ra kết quả dương tính 99% số trường hợp. Với người không mắc bệnh, phương pháp này cũng chuẩn đoán đúng 99 trong 100 trường hợp. Nếu một người kiểm tra và kết quả là dương tính (bị bệnh), xác suất để người đó thực sự bị bệnh là bao nhiêu?   

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Chọn 2 sản phẩm tốt từ 13 sản phẩm tốt trong hộp loại I là \(C_{13}^2 = 78\) cách.

b) Số cách chọn 2 phế phẩm từ 4 phế phẩm trong hộp loại II là \(C_4^2 = 6\) cách.

Tổng số cách chọn 2 sản phẩm từ 10 sản phẩm (6 tốt và 4 phế phẩm) trong hộp II là \(C_{10}^2 = 45\) cách.

Vậy xác suất chọn được 2 phế phẩm là \(\frac{6}{{45}} = \frac{2}{{15}}.\)

c) Gọi \(A\): “Chọn được trong thùng một hộp loại I”.

Và \(B\): “Chọn được trong thùng một hộp loại II”.

Xác suất chọn hộp loại I là \(P\left( A \right) = \frac{2}{5}\) và xác suất chọn hộp loại II là \(P\left( B \right) = \frac{3}{5}.\)

Gọi \(C\) là biến cố “Cả 2 sản phẩm lấy ra đều tốt”.

Xác suất lấy được 2 sản phẩm tốt từ hộp loại I là \(P\left( {C\left| A \right.} \right) = \frac{{C_{13}^2}}{{C_{15}^2}} = \frac{{26}}{{35}}.\)

Xác suất lấy được 2 sản phẩm tốt từ hộp II là \(P\left( {C\left| B \right.} \right) = \frac{{C_6^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{1}{3}.\)

Vậy xác suất hai sản phẩm lấy ra từ một hộp trong thùng đều tốt là

\(P\left( C \right) = P\left( {C\left| A \right.} \right).P\left( A \right) + P\left( {C\left| B \right.} \right).P\left( B \right) = \frac{{26}}{{35}}.\frac{2}{5} + \frac{1}{3}.\frac{3}{5} = \frac{{87}}{{175}}.\)

d) Xác suất lấy ra hai sản phẩm đều tốt thuộc hộp loại I là

Công thức Bayes: \(P\left( {A\left| C \right.} \right) = \frac{{P\left( {C\left| A \right.} \right).P\left( A \right)}}{{P\left( C \right)}} = \frac{{\frac{{26}}{{35}}.\frac{2}{5}}}{{\frac{{87}}{{125}}}} = \frac{{52}}{{87}}.\)

Gọi biến cố A: “Chi tiết lấy từ dây chuyền đạt tiêu chuẩn”.

Biến cố B: “Chi tiết do máy thứ nhất sản xuất”.

Biến cố \(\overline B \): “Chi tiết do máy thứ hai sản xuất”.

Ta cần tính xác suất \(P\left( {B|A} \right)\).

Theo đề ta có \(P\left( B \right) = 0,65;P\left( {\overline B } \right) = 0,35;P\left( {A|B} \right) = 0,8;P\left( {A|\overline B } \right) = 0,85\).

Suy ra \[P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)}} = \frac{{0,65.0,8}}{{0,65.0,8 + 0,35.0,85}} = \frac{{208}}{{327}}\].