Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(A\left( {1;2;1} \right)\) và \(B\left( {3;0;1} \right)\), mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua ba điểm \(M\left( {0;1;0} \right)\), \(N\left( {2;1;3} \right)\), \(P\left( {4;1;1} \right)\).

a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {2\;;\; - 2;\;0} \right)\)là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).

b) \(\overrightarrow {MN} = \left( {2\;;\;0;\;3} \right)\), \(\overrightarrow {MP} = \left( {4\;;\;0;\;1} \right)\).

c) \(\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( {0\;;\;10;\;0} \right)\)nên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {0\;;\; - 1;\;0} \right).\)

d)  \[{\rm{sin}}\left( {d,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {AB} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = \frac{{\left| {0.2 + \left( { - 1} \right).\left( { - 2} \right) + 0.0} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {0^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\].

Suy ra góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)bằng \(45^\circ \).