Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) nằm trên đường thẳng \(\left( d \right):\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\) và tiếp xúc với hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x - z - 4 = 0\), \(\left( Q \right):x - 2y - 2 = 0\). Tổng \(P = a + b + c\) bằng bao nhiêu?

Trả lời: 70

Chiều cao của vòm bằng \(R + d\left( {I,\left( {Oxy} \right)} \right)\)\( = 50 + \frac{{\left| {20} \right|}}{{\sqrt {{1^2}} }} = 70\).

Đáp án đúng là: A

Tâm \(I \in d \Rightarrow I\left( {1 + t;1 + 2t; - 2 + t} \right)\).

 \(\overrightarrow {AI} = \left( {3 + t; - 3 + 2t; - 3 + t} \right);{\rm{ }}\overrightarrow {BI} = \left( { - 1 + t;1 + 2t; - 5 + t} \right)\)

Vì \(\left( S \right)\) đi qua \(A,B\) nên ta có

\[\begin{array}{l}IA = IB \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2} \Leftrightarrow {\left( {3 + t} \right)^2} + {\left( { - 3 + 2t} \right)^2} + {\left( { - 3 + t} \right)^2} = {\left( { - 1 + t} \right)^2} + {\left( {1 + 2t} \right)^2} + {\left( { - 5 + t} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4t = 0 \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow \overrightarrow {IA} = \left( {3; - 3; - 3} \right)\end{array}\]

Vậy bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\): \(R = IA = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = 3\sqrt 3 .\)