Cho tam giác \(ABC\), đường trung tuyến \(BD\). Trên tia đối của tia \(DB\), lấy điểm \(E\) sao cho \(DE = DB\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(CE\). Gọi \(I,\,\,K\) lần lượt là giao điểm của \(AM,\,\,AN\) với \(BE\).

Khi đó:

a) Đúng.

Ta có: \(BF = 2BE\) suy ra \(BE = EF.\)

Mà \(BE = 2ED\) nên \(EF = 2ED.\)

Do đó, \(D\) là trung điểm của \(EF.\)

b) Đúng.

Vì \(D\) là trung điểm của \(EF\) nên \(CD\) là đường trung tuyến của tam giác \(EFC\).

Vì \(K\) là trung điểm của \(CF\) nên \(EK\) là đường trung tuyến của \(\Delta EFC\).

Vì \(\Delta EFC\) có hai đường trung tuyến \(CD\) và \(EK\) cắt nhau tại \(G\) nên \(G\) là trọng tâm của \(\Delta EFC\).

c) Sai.

Vì \(G\) là trọng tâm của \(\Delta EFC\) nên \(\frac{{GC}}{{DC}} = \frac{2}{3}\) và \(GE = \frac{2}{3}EK\).

d) Đúng.

Có \(GE = \frac{2}{3}EK\) nên \(GK = \frac{1}{3}EK\) nên \(GE = 2GK\). Do đó, \(\frac{{GE}}{{GK}} = 2.\)

a) Đúng.

Xét \(\Delta HKC\), có:

Ta có: \(BH = 2BK\) hay \(BK + KH = 2BK\) suy ra \(KH = BK.\)

Mà \(MK = \frac{1}{2}KB\) nên \(MK = \frac{1}{2}KH\) hay \(M\) là trung điểm của \(KH\).

Lại có: \(IC = \frac{1}{3}CA = \frac{1}{3} \cdot 2MC = \frac{2}{3}MC\) với \(MC\) là trung tuyến của \(\Delta HKC\).

Suy ra \(I\) là trọng tâm của \(\Delta HKC\).

b) Đúng.

Có \(I\) là trọng tâm của \(\Delta HKC\) (cmt) nên \(KI\) là đường trung tuyến trong \(\Delta HKC\).

Mà đường thẳng \(KI\) cắt \(HC\) ở \(E\) nên \(E\) là trung điểm của \(HC.\)

c) Sai.

Ta có \(I\) là trọng tâm của \(\Delta HKC\) nên \(\frac{{IE}}{{KE}} = \frac{1}{3}\) và \(\frac{{IK}}{{KE}} = \frac{2}{3}\) do đó, \(\frac{{IE}}{{IK}} = \frac{1}{2}.\)

d) Đúng.

Ta có \(\frac{{MI}}{{MC}} = \frac{1}{3}\) hay \(MI = \frac{1}{3}MC\).

Mà \(MC = \frac{1}{2}AC\).

Suy ra \(MI = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}AC = \frac{1}{6}AC\).

Do đó, \(\frac{{MI}}{{AC}} = \frac{1}{6}.\)