Cho hình hộp \(ABCD \cdot A'B'C'D'\). Trên các cạnh AA'; BB'; CC' lần lượt lấy ba điểm (M, N, P) sao cho \(\frac{{A'M}}{{AA'}} = \frac{1}{3}, \frac{{B'N}}{{BB'}} = \frac{2}{3}, \frac{{C'P}}{{CC'}} = \frac{1}{2}.\) Biết mặt phẳng (MNP) cắt cạnh DD' tại Q. Tính tỉ số \(\frac{{DQ}}{{DD'}}\)

Phương pháp giải

Vi chiếc máy cân bằng nên trọng lực của máy sẽ phân bố đều trên các chân của giá đõ. Từ tọa độ các điểm đã cho, ta tìm được cái mối liên hệ với vecto lực và tìm được tọa độ của các vecto lực.
Tổng hợ lục \(\vec P + \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \vec 0\)

Giải chi tiết

\(\overrightarrow {SA} \left( {0, - 6, - 20} \right),\overrightarrow {SB} \left( {3\sqrt 3 ,3, - 20} \right),\overrightarrow {SC} \left( { - 3\sqrt 3 ,3, - 20} \right)\)\( \Rightarrow \{ \begin{array}{*{20}{l}}{SA = SB = SC = 2\sqrt {109} }\\{\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} = \left( {0,0, - 60} \right)}\end{array}\)Do các lực \({\vec F_1},\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) cùng phương với các giá đỡ và có độ lớn bà̀ng nhau nên
\(\frac{{\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|}}{{SA}} = \frac{{\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|}}{{SB}} = \frac{{\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|}}{{SC}} = k \Rightarrow \{ \begin{array}{*{20}{l}}{{{\vec F}_1} = k\overrightarrow {SA} }\\{{{\vec F}_2} = k\overrightarrow {SB} }\\{\overrightarrow {{F_3}} = k\overrightarrow {SC} }\end{array} \Rightarrow \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = k\left( {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} } \right) = k\left( {0,0, - 20} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \left( {0,0, - 60k} \right)\)\( \Rightarrow P = 60k = 2 \Rightarrow k = \frac{1}{{30}} \Rightarrow {\vec F_1} = \left( {0, - \frac{1}{5}, - \frac{2}{3}} \right) \Rightarrow 2a + 5b + 6c = - 5\)