Cho hàm số \(y = {x^3} - 2009x\;(C)\).

\({M_1}\) là điểm trên \((C)\) có hoành độ \({x_1} = 1\). Tiếp tuyến của \((C)\) tại \({M_1}\) cắt \((C)\) tại điểm \({M_2}\) khác \({M_1}\), tiếp tuyến của \((C)\) tại \({M_2}\) cắt \((C)\) tại điểm \({M_3}\) khác \({M_2}\), tiếp tuyến của \((C)\) tại \({M_{n - 1}}\) cắt \((C)\) tại \({M_n}\) khác \({M_{n - 1}}\) \((n = 4;5; \ldots )\), gọi \(M({x_n};{y_n})\). Tìm \(n\) để \(2009{x_n} + {y_n} + {2^{2013}} = 0\).

Giải chi tiết:

+ Phương trình hoành độ giao điểm của \((C)\) và tiếp tuyến là:

                    \[{x^3} - 2009x = (3x_1^2 - 2009)(x - {x_1}) + x_1^3 - 2009{x_1}(1)\]

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có một nghiệm kép \({x_1} = 1\) và một nghiệm \({x_2}\).

Từ \(\left( 1 \right)\)\( \Leftrightarrow {x^3} - 3x + 2 = 0\).

+ Áp dụng định lý Viète cho phương trình bậc \(3,\) ta có:

        \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{x_1} + {x_2} = 0}\\{x_1^2 + 2{x_1}{x_2} = - 3}\\{x_1^2{x_2} = - 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow {x_2} = - 2{x_1}\]

Suy ra \({x_1} = 1,\;{x_2} = - 2,\;{x_3} = 4,\; \ldots ,\;{x_n} = {( - 2)^{{\kern 1pt} n - 1}}\).

Ta có:

                                             \[2009{x_n} + {y_n} + {2^{2013}} = 0\]

                    \[ \Leftrightarrow 2009{x_n} + x_n^3 - 2009{x_n} + {2^{2013}} = 0\]

                                   \[ \Leftrightarrow {( - 2)^{3n - 3}} = - {2^{2013}}\]

                                                  \[ \Leftrightarrow 3n - 3 = 2013\]

                                                          \[ \Rightarrow n = 672\]

Vậy \(n = 672\).