Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(5,0,2) và B(5,10,4). Các điểm M, N di động trên mặt phẳng (Oxy) sao cho độ dài MN = 2. Tổng AM + BN có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
![Trong không gian \[Oxyz,\] cho các điểm \(A(5,0,2)\) và \(B(5,10,4)\). Các điểm \(M,\,\,N\) di động (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/03/blobid17-1774236643.png)
Phương trình mặt phẳng \((Oxy)\):\[z = 0.\]
Vì \({z_A} \cdot {z_B} > 0\) nên A, B cùng phía so với \((Oxy)\).
Gọi \(A',\,\,B'\) lần lượt là hình chiếu của A, B lên \((Oxy)\).
\[A'(5,0,0),\,\,B'(5,10,0).\]
\[A'B' = 10.\]
Ta có:
\[AA' = 2,\,\,BB' = 4.\]
Đặt:
\[MA' = x,\,\,NB' = y.\]
Theo bất đẳng thức tam giác:
\[A'M + MN + NB' \ge A'B' = 10.\]
Dấu bằng xảy ra khi \(A',\,\,M,\,\,N,\,\,B'\) thẳng hàng.
\[ \Rightarrow x + y \ge A'B' - MN = 8.\]
Suy ra:
\[AM + BN \ge \sqrt {{{(MA' + NB')}^2} + {{(AA' + BB')}^2}} = \sqrt {{8^2} + {6^2}} = 10.\]
Vậy giá trị nhỏ nhất là \(10.\)
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập