Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

a) Biết AB = 4 cm, AC = \(4\sqrt 3 \;\,{\rm{cm}}\). Tính BC, sin B, tan C.

b) Từ kết quả câu a, tính AH và số đo góc AHC.

c) Kẻ HD, HE lần lượt vuông góc với AB và AC. Chứng minh AB. AD = AH². Từ đó suy ra AB. AD = AE. AC.

Lời giải:

Ta có: (sin α + sin β)²\( = \frac{1}{2}\)Ûsin² α + sin² β + 2sin α.sin β \( = \frac{1}{2}\).

(cos α + cos β)²\( = \frac{3}{2}\)Ûcos² α + cos² β + 2cos α.cos β \( = \frac{3}{2}\).

Cộng vế với vế, ta được:

sin² α + sin² β + 2sin α.sin β + cos² α + cos² β + 2cos α.cos β = 2

Û2cos (α – β) = 0

Ûcos (α – β) = 0.

Ta có: (sin α + sin β)(cos α + cos β)\( = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Û (sin α. cos α + sin β. cos β) + (sin α. cos β + sin β. cos α) \( = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Û sin (α + β). cos (α – β) + sin (α + β) \( = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Û sin (α + β) \( = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Lời giải:

Chọn A.

Hàm doanh thu khi chở x khách là \({\rm{L}}\left( {\rm{x}} \right) = {\rm{x}}{\left( {3 - \frac{{\rm{x}}}{{40}}} \right)^2} = \frac{{{{\rm{x}}^3}}}{{1\;600}} - \frac{{3{{\rm{x}}^2}}}{{20}} + 9{\rm{x}}\).

Ta có: \({\rm{L'}}\left( {\rm{x}} \right) = 9 - \frac{{3{\rm{x}}}}{{10}} + \frac{{3{{\rm{x}}^2}}}{{1\;\,600}}\).

L’(x) = 0 \( \Leftrightarrow 9 - \frac{{3{\rm{x}}}}{{10}} + \frac{{3{{\rm{x}}^2}}}{{1\;\,600}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\rm{x}} = 40\;\,\left( {{\rm{TM}}} \right)\\{\rm{x}} = 120\;\,\left( {\rm{L}} \right)\end{array} \right.\).

Ta có: L(0) = 0; L(40) = 160, L(60) = 135.

Do đó, một chuyến xe buýt thu được lợi nhuận cao nhất là 160 USD khi có 40 khách.