Gọi S là tổng tất cả các giá trị cực trị của hàm số y = |x + 3| + \(\frac{1}{{{\rm{x}} + 1}}\). Tính S.

Lời giải:

TXĐ: \(\mathbb{R}\)\{–1}.

+) Với x ≥ –3 ta có y = x + 3 + \(\frac{1}{{{\rm{x}} + 1}}\).

y’ = \({\left( {{\rm{x}} + 3 + \frac{1}{{{\rm{x}} + 1}}} \right)^\prime } = - \frac{1}{{{{\left( {{\rm{x}} + 1} \right)}^2}}} + 1\).

y’ = 0 \( \Leftrightarrow - \frac{1}{{{{\left( {{\rm{x}} + 1} \right)}^2}}} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\rm{x}} = 0\;\,\left( {{\rm{TM}}} \right)\\{\rm{x}} = - 2\;\,\left( {{\rm{TM}}} \right)\end{array} \right.\).

+) Với x < –3 ta có y = –x – 3 + \(\frac{1}{{{\rm{x}} + 1}}\).

y’ = \({\left( {--{\rm{x}}--3 + \frac{1}{{{\rm{x}} + 1}}} \right)^\prime } = - \frac{1}{{{{\left( {{\rm{x}} + 1} \right)}^2}}} - 1\).

y’ = 0 \( \Leftrightarrow - \frac{1}{{{{\left( {{\rm{x}} + 1} \right)}^2}}} - 1 = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\left( {{\rm{x}} + 1} \right)}^2}}} + 1 = 0\) (vô nghiệm).

Do đó, hàm số y = |x + 3| + \(\frac{1}{{{\rm{x}} + 1}}\) có cực trị tại x = 0, x = –2.

Với x = 0 thì y = 4, với x = –2 thì y = 0. Vậy S = 4 + 0 = 4.