Cho tứ diện ABCD, O là điểm bên trong tam giác BCD, lấy M trên AO.

a) Tìm giao tuyến (MCD) với (ABC), (ABD).

b) Gọi J, K lần lượt nằm trên BC, BD sao cho JK không song song với CD. Tìm giao tuyến (MJK) và (ACD).

Lời giải:

a)

+ Tìm giao tuyến của (MCD) và (ABC):

Trong (BCD), gọi I là giao điểm của DO và BC.

Trong (ADI): Gọi E là giao điểm của DM và AI.

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{E}} \in {\rm{MD}} \Rightarrow {\rm{E}} \in \left( {{\rm{MCD}}} \right)\\{\rm{E}} \in {\rm{AI}} \Rightarrow {\rm{E}} \in \left( {{\rm{ABC}}} \right)\end{array} \right. \Rightarrow {\rm{E}} \in \left( {{\rm{MCD}}} \right) \cap \left( {{\rm{ABC}}} \right)\).

Mà C là điểm chung của (MCD) và (ABC) nên CE là giao tuyến của (MCD) và (ABC).

+ Tìm giao tuyến của (MCD) và (ABD):

Trong (ABC): Gọi F là giao điểm của EC và AB.

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{F}} \in {\rm{AB}} \Rightarrow {\rm{F}} \in \left( {{\rm{ABD}}} \right)\\{\rm{F}} \in {\rm{EC}} \Rightarrow {\rm{F}} \in \left( {{\rm{MCD}}} \right)\end{array} \right. \Rightarrow {\rm{F}} \in \left( {{\rm{MCD}}} \right) \cap \left( {{\rm{ABD}}} \right)\).

Mà D là điểm chung của (MCD) và (ABD) nên DF là giao tuyến của (MCD) và (ABD).

b)

Trong (BCD), gọi G là giao điểm của JK và CD; T là giao điểm của JO với CD.

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{G}} \in {\rm{JK}} \Rightarrow {\rm{G}} \in \left( {{\rm{MJK}}} \right)\\{\rm{G}} \in {\rm{CD}} \Rightarrow {\rm{G}} \in \left( {{\rm{ACD}}} \right)\end{array} \right. \Rightarrow {\rm{G}} \in \left( {{\rm{MJK}}} \right) \cap \left( {{\rm{ACD}}} \right)\) (1).

Trong tam giác AJT: Gọi U là giao điểm của JM và AT.

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{U}} \in {\rm{JM}} \Rightarrow {\rm{U}} \in \left( {{\rm{MJK}}} \right)\\{\rm{U}} \in {\rm{AT}} \Rightarrow {\rm{U}} \in \left( {{\rm{ACD}}} \right)\end{array} \right. \Rightarrow {\rm{U}} \in \left( {{\rm{MJK}}} \right) \cap \left( {{\rm{ACD}}} \right)\) (2).

Từ (1) và (2) ta có GU là giao tuyến của hai mặt phẳng (MJK) và (ACD).