Cho tam giác \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\). Lấy điểm \(M\) bất kì trên đoạn \(AC\), đường tròn đường kính \(CM\) cắt hai đường thẳng \(BM\) và \(BC\) lần lượt tại \(D\) và \(N\). Chứng minh rằng:
(a) Tứ giác \(ABCD\) nội tiếp.
(b) Các đường thẳng \[AB,\,\,\,MN,\,\,\,CD\] cùng đi qua một điểm.
Cho tam giác \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\). Lấy điểm \(M\) bất kì trên đoạn \(AC\), đường tròn đường kính \(CM\) cắt hai đường thẳng \(BM\) và \(BC\) lần lượt tại \(D\) và \(N\). Chứng minh rằng:
(a) Tứ giác \(ABCD\) nội tiếp.
(b) Các đường thẳng \[AB,\,\,\,MN,\,\,\,CD\] cùng đi qua một điểm.
Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 9 Chân trời sáng tạo có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Gọi \(O\) là tâm đường tròn đường kính \(CM\).
Ta có \(DO = MO = CO\) hay \(DO = \frac{{MC}}{2}\).
Xét tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat {BAM} = \widehat {BDC} = 90^\circ \) nên bốn điểm \(A,\,B,\,C,\,D\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(BC\) hay tứ giác \(ABCD\) nội tiếp.
b) Gọi giao điểm của hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) là \(I\).
Vì \(M\) là trực tâm của \(\Delta BIC\) nên \(IM\) là đường cao thứ ba, suy ra \(IM \bot BC\).
Do đó \(IM\) và \(IN\) phải trùng nhau hay ba điểm \(I,\,\,M,\,\,N\) thẳng hàng.
Vậy các đường thẳng \[AB,\,\,\,MN,\,\,\,CD\] cùng đi qua một điểm \(I\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
![Cho tam giác \(ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\), các đường cao \(AD,\,BE\) và \(CF\) cắt nhau tại \(H.\) ((a) Chứng minh tứ giác \[BFEC\] nội tiếp, xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(BFEC.\) (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1774444166/image10.png)
a) Ta có: \(\widehat {BFC} = \widehat {BEC} = 90^\circ \,\,\left( {{\rm{gt}}} \right)\)
Suy ra, tứ giác \[BFEC\] nội tiếp đường tròn tâm \[I\] là trung điểm của \[BC\] và bán kính \(\frac{{BC}}{2}\).
b) Xét đường tròn \[\left( I \right)\] ta có \(\widehat {FEB} = \widehat {FCB}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(FB\)).
Do đó .
Suy ra \(\frac{{ME}}{{MC}} = \frac{{MB}}{{MF}}\) hay \(ME \cdot MF = MB \cdot MC\).
Chứng minh tương tự với đường tròn \(\left( O \right)\) ta có: \[MB \cdot MC = MK \cdot MT\]
Do đó \[MK \cdot MT = ME \cdot MF\]. (1)
c) Dễ thấy tứ giác \[HECD\] nội tiếp (\(\widehat {HEC} + \widehat {HDC} = 180^\circ \))
Suy ra \(\widehat {HED} = \widehat {HCD}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \[HD\]).
Lại có \[BFEC\] nội tiếp nên \(\widehat {HCD} = \widehat {FEB}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \[FB\]).
Suy ra \(\widehat {HED} = \widehat {FEB}\,\,\left( { = \widehat {HCD}} \right)\).
Lai có \(\widehat {BIF} = 2\widehat {FCB}\) (góc ở tâm đường tròn \[\left( I \right)\] và góc nội tiếp cùng chắn cung \(BF\)).
Suy ra \[\widehat {BIF} = \widehat {MED}\].
Xét \[\Delta MIF\] và \[\Delta MED\] có \[\widehat {BIF} = \widehat {MED}\] (cmt); \(\widehat C\) chung.
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac{{MI}}{{ME}} = \frac{{MF}}{{MD}}\) hay \(MI \cdot MD = ME.MF\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(MI \cdot MD = MK \cdot MT.\) hay \(\frac{{MD}}{{MT}} = \frac{{MK}}{{MI}}.\)
Xét \(\Delta MDK\) và \(\Delta MTI\) có \(\widehat C\) chung; \(\frac{{MD}}{{MT}} = \frac{{MK}}{{MI}}.\)
Do đó (c.g.c).
Suy ra \(\widehat {MDK} = \widehat {MTI}\) (hai góc tương ứng).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đổi 27 phút \( = \frac{9}{{20}}\) (giờ).
Sau 1 giờ hai xe gặp nhau nên tổng vận tốc của hai xe bằng \(90\,\,{\rm{km}}/{\rm{h}}.\)
Gọi \(x\,\,\left( {{\rm{km}}/{\rm{h}}} \right)\) là vận tốc cùa \({\rm{xe}}\) thứ nhất \(\left( {0 < x < 90} \right)\).
thì vận tốc của xe thứ hai là \[90 - x\,\,\left( {{\rm{km}}/{\rm{h}}} \right)\].
Thời gian của xe thứ nhất di từ \({\rm{A}}\) dến \({\rm{B}}\) là \(\frac{{90}}{x}\) (giờ).
Thời gian của xe thứ hai là \(\frac{{90}}{{90 - x}}\) (giờ).
Theo đề bài, ta có phương trình: \(\frac{{90}}{x} - \frac{9}{{90 - x}} = \frac{9}{{20}}\).
\(\frac{{10}}{x} - \frac{1}{{90 - x}} = \frac{1}{{20}}\)
\({x^2} - 490x + 18\,\,000 = 0\)
\(x = 40\) (TMĐK) hoặc \(x = 450\) (loại).
Vậy vận tốc của xe thứ nhất là \[40\,\,{\rm{km}}/{\rm{h}}\]; vận tốc của xe thứ hai là \(50\,\,{\rm{km}}/{\rm{h}}{\rm{.}}\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập