Cho tam giác cân \(ACD\) có \(O\) là trung điểm cạnh đáy \(CD.\) Xét hình nón dược tạo ra khi quay tam giác vuông \(AOC\) một vòng xung quanh đường thảng cố dịnh chứa cạnh \(AO\) của tam giác vuông đó (Hình vẽ). Quan sát hình vẽ và hãy chỉ ra:

(a) Đỉnh của hình nón;

(b) Bán kính đáy của hình nón;

(c) Chiếu cao của hình nón;

(d) Đường sinh của hình nón.

a) Ta có: \(\widehat {BFC} = \widehat {BEC} = 90^\circ \,\,\left( {{\rm{gt}}} \right)\)

Suy ra, tứ giác \[BFEC\] nội tiếp đường tròn tâm \[I\] là trung điểm của \[BC\] và bán kính \(\frac{{BC}}{2}\).

b) Xét đường tròn \[\left( I \right)\] ta có \(\widehat {FEB} = \widehat {FCB}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(FB\)).

Do đó .

Suy ra \(\frac{{ME}}{{MC}} = \frac{{MB}}{{MF}}\) hay \(ME \cdot MF = MB \cdot MC\).

Chứng minh tương tự với đường tròn \(\left( O \right)\) ta có: \[MB \cdot MC = MK \cdot MT\]

Do đó \[MK \cdot MT = ME \cdot MF\]. (1)

c) Dễ thấy tứ giác \[HECD\] nội tiếp (\(\widehat {HEC} + \widehat {HDC} = 180^\circ \))

Suy ra \(\widehat {HED} = \widehat {HCD}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \[HD\]).

Lại có \[BFEC\] nội tiếp nên \(\widehat {HCD} = \widehat {FEB}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \[FB\]).

Suy ra \(\widehat {HED} = \widehat {FEB}\,\,\left( { = \widehat {HCD}} \right)\).

Lai có \(\widehat {BIF} = 2\widehat {FCB}\) (góc ở tâm đường tròn \[\left( I \right)\] và góc nội tiếp cùng chắn cung \(BF\)).

Suy ra \[\widehat {BIF} = \widehat {MED}\].

Xét \[\Delta MIF\] và \[\Delta MED\] có \[\widehat {BIF} = \widehat {MED}\] (cmt); \(\widehat C\) chung.

Do đó (g.g).

Suy ra \(\frac{{MI}}{{ME}} = \frac{{MF}}{{MD}}\) hay \(MI \cdot MD = ME.MF\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(MI \cdot MD = MK \cdot MT.\) hay \(\frac{{MD}}{{MT}} = \frac{{MK}}{{MI}}.\)

Xét \(\Delta MDK\) và \(\Delta MTI\) có \(\widehat C\) chung; \(\frac{{MD}}{{MT}} = \frac{{MK}}{{MI}}.\)

Do đó (c.g.c).

Suy ra \(\widehat {MDK} = \widehat {MTI}\) (hai góc tương ứng).