Gọi \(S\) là phần hình phẳng màu xanh được tạo bởi hai đồ thị hàm số \(y = \sin x + 1\) và \(y = \cos x + 1\) như hình vẽ dưới. Biết thể tích của vật thể được tạo thành khi quay \(S\) quanh trục \[Ox\]là \(V = a\sqrt b \pi  + c{\pi ^2},{\rm{ }}\)với \({\rm{ }}a,b,c \in \mathbb{N},\) \(b\) là số nguyên tố. Tính giá trị của biểu thức \(P = a + b + c.\)(nhập đáp án vào ô trống)

Giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đồ thị hàm số:

\(\sin x + 1 = \cos x + 1 \Leftrightarrow \sin x - \cos x = 0 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi {\rm{ }}(k \in \mathbb{Z})\)

Khi đó, phần hình phẳng màu xanh được giới hạn bởi \(x = \frac{\pi }{4}\) và \(x = \frac{{5\pi }}{4}.\)

Khi \(x \in \left[ {\frac{\pi }{4};\frac{{5\pi }}{4}} \right],\) ta có \(\sin x + 1 \ge \cos x + 1 \ge 0.\)Thể tích của vật thể tròn xoay khi đó bằng:

\(V = \pi \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{{5\pi }}{4}} {\left| {{{(\sin x + 1)}^2} - {{(\cos x + 1)}^2}} \right|} dx = \pi \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{{5\pi }}{4}} {({{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x + 2\sin x - 2\cos x)} dx\)

\(V = \pi \cdot \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{{5\pi }}{4}} {( - \cos 2x + 2\sin x - 2\cos x)} dx = \pi \cdot \left( {\frac{{ - \sin 2x}}{2} - 2\cos x - 2\sin x} \right)|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{{5\pi }}{4}} = 4\pi \sqrt 2 \)

Khi đó, \(a = 4,\,\,b = 2,\,\,c = 0\)\( \Rightarrow P = a + b + c = 6.\)