Một ô tô và một xe máy khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh cách nhau 200 km, đi ngược chiều và gặp nhau sau 2 giờ. Biết rằng nếu vận tốc của ô tô tăng thêm \[10\,\,{\rm{km/h}}\] và vận tốc của xe máy giảm đi \[5\,\,{\rm{km/h}}\] thì vận tốc của ô tô bằng 2 lần vận tốc của xe máy. Gọi vận tốc của ô tô và vận tốc của xe máy lần lượt là \[x,\,\,y\,\,\left( {x,\,\,y > 0,\,\,{\rm{km/h}}} \right)\]. Khi đó:

Đáp án: 0

Xét phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - my = 1\,\,\,\,\left( 1 \right)\\mx + y = 3\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Từ phương trình (1), ta có: \(x = my + 1.\,\,\,\left( 3 \right)\)

Thế phương trình (3) vào phương trình (2), ta được:

\(m\left( {my + 1} \right) + y = 3\)

\({m^2}y + m + y = 3\)

\(\left( {{m^2} + 1} \right)y = 3 - m\)

\(y = \frac{{3 - m}}{{{m^2} + 1}}\) (do \({m^2} + 1 \ne 0)\)

Thay \(y = \frac{{3 - m}}{{{m^2} + 1}}\) vào phương trình (3), ta được:

\(x = m \cdot \frac{{3 - m}}{{{m^2} + 1}} + 1 = \frac{{3m - {m^2} + {m^2} + 1}}{{{m^2} + 1}} = \frac{{3m + 1}}{{{m^2} + 1}}.\)

Như vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right) = \left( {\frac{{3m + 1}}{{{m^2} + 1}};\,\,\frac{{3 - m}}{{{m^2} + 1}}} \right)\).

Ta có: \(P = x_0^2 + y_0^2 - {x_0} - 3{y_0} = {\left( {\frac{{3m + 1}}{{{m^2} + 1}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{3 - m}}{{{m^2} + 1}}} \right)^2} - \frac{{3m + 1}}{{{m^2} + 1}} - 3 \cdot \frac{{3 - m}}{{{m^2} + 1}}\)

\[ = \frac{{{{\left( {3m + 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - m} \right)}^2} - \left( {3m + 1} \right)\left( {{m^2} + 1} \right) - 3\left( {3 - m} \right)\left( {{m^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {{m^2} + 1} \right)}^2}}}\]

\[ = \frac{{9{m^2} + 6m + 1 + 9 - 6m + {m^2} - \left( {3{m^3} + 3m + {m^2} + 1} \right) - \left( {9{m^2} + 9 - 3{m^3} - 3m} \right)}}{{{{\left( {{m^2} + 1} \right)}^2}}}\]

\[ = \frac{{9{m^2} + 6m + 1 + 9 - 6m + {m^2} - 3{m^3} - 3m - {m^2} - 1 - 9{m^2} - 9 + 3{m^3} + 3m}}{{{{\left( {{m^2} + 1} \right)}^2}}}\]

\[ = \frac{0}{{{{\left( {{m^2} + 1} \right)}^2}}} = 0.\]

a) Đúng.

Vì tháng thứ nhất hai tổ sản xuất được \[1\,\,000\] chi tiết máy nên \[a + b = \,1\,\,000\] (1).

b) Sai.

Vì tháng thứ hai, tổ I vượt mức \[20\% \] nên số chi tiết máy tổ I làm được trong tháng thứ hai là \[1,2a\] (chi tiết máy).

Vì tháng thứ hai, tổ II vượt mức \[15\% \] nên số chi tiết máy tổ II làm được trong tháng thứ hai là \[1,15b\] (chi tiết máy).

Do đó, phương trình biểu diễn số sản phẩm hai tổ sản xuất được trong tháng thứ hai là \[1,2a + 1,15b = 1\,\,170\].

Vậy hệ phương trình biểu diễn bài toán là: \[\left\{ \begin{array}{l}a + b = \,1\,\,000\\1,2a + 1,15b = 1\,\,170\end{array} \right.\].

c) Sai.

Ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}a + b = \,1\,\,000\\1,2a + 1,15b = 1\,\,170\end{array} \right.\]

Có \[a + b = \,1\,\,000\] nên thay \[a = \,1\,\,000 - b\] vào phương trình \[1,2a + 1,15b = 1\,\,170\], ta được:

\[1,2 \cdot \left( {1\,\,000 - b} \right) + 1,15b = 1\,\,170\]

\[1\,\,200 - 1,2b + 1,15b = 1\,\,170\]

\[0,05b = 30\]

\[b = 600\] (thỏa mãn)

Suy ra \[a = 400\] (thỏa mãn)

Vậy tháng thứ nhất tổ I sản xuất được 400 chi tiết máy, tổ II sản xuất được 600 chi tiết máy.

d) Đúng.

Tháng thứ hai, tổ I sản xuất được số chi tiết máy là \[400 \cdot 1,2 = 480\] (chi tiết máy)

Tháng thứ hai, tổ II sản xuất được số chi tiết máy là: \[600 \cdot 1,15 = 690\] (chi tiết máy)

Do đó, tháng thứ hai, tổ II sản xuất được nhiều hơn tổ I số chi tiết máy là: \[690 - 480 = 210\] (chi tiết máy).