Cho hai số hữu tỉ \(a\) và \(b\) sao cho hàm số \(y = \sqrt {x - 1}  + \sqrt {2x + 1} \) có đạo hàm tại điểm \({x_0} = 3\) là \(y'\left( 3 \right) = \frac{a}{{\sqrt 2 }} + \frac{b}{{\sqrt 7 }}\). Khi đó \(a + b\) bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) Hàm số có đạo hàm trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

b) \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt x }}\). Suy ra \(f'\left( 9 \right) = \frac{1}{{2\sqrt 9 }} = \frac{1}{6}\).

c) Có \(y = f\left( {{x^2} + 1} \right) = \sqrt {{x^2} + 1} \).

Suy ra \(f'\left( {{x^2} + 1} \right) = \frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\).

d) Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\) có hệ số góc bằng \(f\left( 4 \right) = \frac{1}{{2\sqrt 4 }} = \frac{1}{4}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Với \({y_0} = 8 \Rightarrow {x_0} = 2\).

Ta tính được \(k = y'\left( 2 \right) = 12\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = 2}\\{{y_0} = 8.{\rm{\;\;}}}\\{k = 12}\end{array}} \right.\)

Vậy phương trình tiếp tuyến là: \(y - 8 = 12\left( {x - 2} \right) \Leftrightarrow y = 12x - 16\)