Tìm cặp số nguyên \[\left( {x\,;\,y} \right)\] sao cho:

a) \(xy = x - y;\)

b) \(x\left( {y + 2} \right) + y = 1;\)

c) \(xy - 7y + 5x = 0\) và \(y \ge 3\).

Hướng dẫn giải

a) \[xy = x - y\]

\[xy - x + y = 0\]

\[x\left( {y - 1} \right) + y - 1 = - 1\]

\[\left( {y - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = - 1\]

Vì \[\left( {x\,;\,y} \right)\] là số nguyên nên \[\left( {y - 1} \right)\] và \[\left( {x + 1} \right)\] là số nguyên và là ước của \[ - 1\]

Ta lập bảng sau:

Vậy \[\left( {x;\,\,y} \right) \in \left\{ {\left( {0;\,\,0} \right);\left( { - 2;\,\,2} \right)} \right\}.\]

b) \(x\left( {y + 2} \right) + y = 1\)

\(x\left( {y + 2} \right) + y + 2 = 3\)

\(\left( {y + 2} \right)\left( {x + 1} \right) = 3\)

Vì \[\left( {x\,;\,y} \right)\] là số nguyên nên \(\left( {y + 2} \right)\) và \[\left( {x + 1} \right)\] là số nguyên và là ước của \[3.\]

Ta lập bảng sau:        

Vậy \[\left( {x;\,\,y} \right) \in \left\{ {\left( {0;\,\,1} \right);\left( {2;\,\, - 1} \right);\left( { - 2;\,\, - 5} \right);\left( { - 4;\,\, - 3} \right)} \right\}.\]

c) \(xy - 7y + 5x = 0\)

\(xy - 7y + 5x - 35 = - 35\)

\(y\left( {x - 7} \right) + 5\left( {x - 7} \right) = - 35\)

\(\left( {x - 7} \right)\left( {y + 5} \right) = - 35\)

Vì \[\left( {x\,;\,y} \right)\] là số nguyên nên \(\left( {y + 5} \right)\) và \[\left( {x - 7} \right)\] là số nguyên và là ước của \[ - 35.\]

Mà \(y \ge 3\) nên \(y + 5 \ge 8.\)

Ta có Ư\(\left( { - 35} \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,5;\,\, - 5;\,\,7;\,\, - 7;\,\,35;\,\, - 35} \right\}.\)

Do đó suy ra: \(y + 5 = 35,\) khi đó \(x - 7 = - 1\)

Suy ra: \(y = 30\) và \(x = 6\)

Vậy \[\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {6;\,\,30} \right).\]