Cho tam giác \(ABC\)vuông tại \(A\) \((AB < AC),\) đường cao \(AH.\) Từ \(H\)kẻ \(HE\) và \(HF\) lần lượt vuông góc với \(AB\) và \(AC\) \(\left( {E \in AB,{\rm{ }}F \in AC} \right)\).

a) Chứng minh rằng \(AH = AF.\)

b) Trên \(FC\) lấy điểm \(K\) sao cho \(FK = AF.\) Chứng minh rằng tứ giác \(EHKF\)là hình bình hành?

c) Gọi \(O\) là trung điểm của \(AH\) và \(EF,\)\(I\) là giao điểm của \(HF\) và \(EK.\) Chứng minh: \[OI\,{\rm{//}}\,AC\] và \(OI = \frac{1}{4}AK?\)

a) Xét tứ giác \[AFHE\] có: \(\widehat {A\,\,} = \widehat {E\,} = \widehat {F\,} = 90^\circ .\)

Suy ra tứ giác \[AFHE\] là hình chữ nhật.

Do đó \(AH = EF.\)

b) Xét tứ giác \(EHKF\) ta có: \(EH \bot AB\) và \(FK \bot AB\) nên \(EH\,{\rm{//}}\,FK.\)      (1)

Vì \[HE = FA;\,\,FK = FA\] nên \[FK = EH.\] (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(EHKF\) là hình bình hành.

c) Xét \(\Delta OIF\) và \(\Delta MIH,\) có:

\(OI = MI;\,\,IH = IF;\,\,\widehat {OIF} = \widehat {MIH}\)

Do đó \(\Delta OIF = \Delta MIH\) (c.g.c).

Suy ra \(\widehat {OFI} = \widehat {IHM},\) mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(OF\,{\rm{//}}\,MH,\) hay \(OE\,{\rm{//}}\,MH.\)

Xét \(\Delta OEH\) và \(\Delta HMO,\) có:

\(OE = HM\left( { = OF} \right);\)

\(OH\) là cạnh chung;

\(\widehat {EOH} = \widehat {OHM}\) (so le trong).

Do đó \(\Delta EOH = \Delta MHO\) (c.g.c).

Suy ra \(OM = EH,\) nên \(OI = \frac{1}{2}EH = \frac{1}{4}AK.\)