Cho biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x + 15}}{{x - 9}} - \frac{x}{{x - 3\sqrt x }} + \frac{{2\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 3}}\) với \(x > 0,\,\,x \ne 9\). Hỏi có bao nhiêu giá trị của \(x\) để \(A\) nhận giá trị là số nguyên?

a) Đúng.

Với \(x \ge 0;\,\,x \ne 9\), ta có:

\(B = \frac{4}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{2x - \sqrt x - 13}}{{x - 9}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\)

\( = \frac{{4\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \frac{{2x - \sqrt x - 13}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)

\( = \frac{{4\sqrt x - 12 + 2x - \sqrt x  - 13 - x - 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)

\( = \frac{{x - 25}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{x - 25}}{{x - 9}} = \frac{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\).

b) Đúng.

Ta có: \(P = \frac{B}{A} = \frac{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}:\frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 3}}\)

                      \( = \frac{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 5}} = \frac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x + 3}}\).

c) Sai.

Ta có: \(P = \frac{{\sqrt x  - 5}}{{\sqrt x + 3}} = 1 - \frac{8}{{\sqrt x + 3}}\).

Để \(P\) đạt giá trị nguyên thì \(\frac{8}{{\sqrt x + 3}}\) nhận giá trị nguyên.

Suy ra \(\sqrt x + 3\) là Ư(8).

Nhận thấy \(\sqrt x + 3 \ge 3\) với \(x \ge 0;\,\,x \ne 9\).

Do đó, \(\sqrt x + 3 \in {\rm{\{ }}4;\,\,8\} \)

Với \(\sqrt x + 3 = 4\) thì \(x = 1\) (thỏa mãn).

Với \(\sqrt x + 3 = 8\) thì \(x = 25\) (thỏa mãn).

Do đó, có hai giá trị nguyên của \(x\) để \(P\) nguyên.

d) Đúng.

Thay \(x = 25\) (thỏa mãn) vào \(P\) được \(P = \frac{{\sqrt {25} - 5}}{{\sqrt {25} + 3}} = \frac{{5 - 5}}{{5 + 3}} = \frac{0}{8} = 0\).

Đáp án: 3

Với \(x > 0\), ta có:

\(A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x }}\)

    \( = \left[ {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x .\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right]:\frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x }}\)

    \( = \frac{{\sqrt x + 1 + x}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x }}\)  \[\]

     \( = \frac{{\sqrt x + 1 + x}}{{\sqrt x }}\).

Với \(x > 0\), \(P = \frac{{\sqrt x + 1 + x}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{x}{{\sqrt x }} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x }} + \sqrt x \)

Vì \(x > 0\), áp đụng BĐT Cauchy, ta có:

\(\frac{1}{{\sqrt x }} + \sqrt x \ge 2\sqrt {\frac{1}{{\sqrt x }}.\sqrt x } \) hay \(1 + \frac{1}{{\sqrt x }} + \sqrt x \ge 1 + 2\) hay \(A \ge 3\).

Vậy GTNN của \(A = 3\) khi \(\frac{1}{{\sqrt x }} = \sqrt x \) hay \(x = 1\).