Cho biểu thức A = (1/ căn x) + căn x / căn (x+1) : (căn x) / x + căn x với x > 0. Tính giá trị nhỏ nhất của A
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Đáp án: 3
Với \(x > 0\), ta có:
\(A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x }}\)
\( = \left[ {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x .\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right]:\frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x }}\)
\( = \frac{{\sqrt x + 1 + x}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x }}\) \[\]
\( = \frac{{\sqrt x + 1 + x}}{{\sqrt x }}\).
Với \(x > 0\), \(P = \frac{{\sqrt x + 1 + x}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{x}{{\sqrt x }} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x }} + \sqrt x \)
Vì \(x > 0\), áp đụng BĐT Cauchy, ta có:
\(\frac{1}{{\sqrt x }} + \sqrt x \ge 2\sqrt {\frac{1}{{\sqrt x }}.\sqrt x } \) hay \(1 + \frac{1}{{\sqrt x }} + \sqrt x \ge 1 + 2\) hay \(A \ge 3\).
Vậy GTNN của \(A = 3\) khi \(\frac{1}{{\sqrt x }} = \sqrt x \) hay \(x = 1\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập