Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A.\] Gọi \[D\] là trung điểm của \[BC.\] Kẻ \[DE\] vuông góc với \[AB\] tại \[E,{\rm{ }}DF\] vuông góc với \[AC\] tại \(F.\)

a) Chứng minh tứ giác \[AEDF\] là hình chữ nhật.

b) Tứ giác \[EDCF\] là hình gì? Vì sao?

c) Trên tia \[DF\] lấy điểm \[H\] sao cho \[F\] là trung điểm của \[DH.\] Chứng minh tứ giác \[ADCH\] là hình thoi.     

a) \(\frac{x}{{x + 9}} + \frac{9}{{x + 9}}\)\( = \frac{{x + 9}}{{x + 9}} = 1.\)

b) \(\frac{x}{{x + 6}} - \frac{{36}}{{{x^2} + 6x}} = \frac{{{x^2} - 36}}{{x\left( {x + 6} \right)}} = \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{x\left( {x + 6} \right)}}\)\( = \frac{{x - 6}}{x}.\)

c) \[\frac{{7x + 1}}{{x - 3}} \cdot \frac{{x - 5}}{{x + 7}} - \frac{{x - 5}}{{x + 7}} \cdot \frac{{6x - 6}}{{x - 3}} = \frac{{x - 5}}{{x + 7}} \cdot \left( {\frac{{7x + 1}}{{x - 3}} - \frac{{6x - 6}}{{x - 3}}} \right)\]

\[ = \frac{{x - 5}}{{x + 7}} \cdot \frac{{7x + 1 - 6x + 6}}{{x - 3}}\]\( = \frac{{x - 5}}{{x - 3}}.\)

Với \(a,\,\,b,\,\,c\) đôi một khác nhau ta có biểu thức có nghĩa.

Khi đó: \(Q = \frac{{bc}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}} + \frac{{ab}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}}\)

\( = \frac{{bc}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} - \frac{{ac}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}} + \frac{{ab}}{{\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

\( = \frac{{bc\left( {b - c} \right) - ac\left( {a - c} \right) + ab\left( {a - b} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

\( = \frac{{bc\left( {b - c} \right) - {a^2}c + a{c^2} + {a^2}b - a{b^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

\( = \frac{{bc\left( {b - c} \right) + \left( { - {a^2}c + {a^2}b} \right) - \left( {a{b^2} - a{c^2}} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

\( = \frac{{bc\left( {b - c} \right) + {a^2}\left( {b - c} \right) - a\left( {b - c} \right)\left( {b + c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {b - c} \right)\left( {bc + {a^2} - ab - ac} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {b - c} \right)\left[ { - \left( {ac - bc} \right) + \left( {{a^2} - ab} \right)} \right]}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {b - c} \right)\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}} = 1.\)

Vậy giá trị biểu thức \(Q\) không phụ thuộc vào \(a,\,\,b,\,\,c.\)