1) Một chiếc xuồng máy qua sông từ vị trí \[B\] hướng tới vị trí \[A.\] Tuy nhiên do nước chảy nên khi qua tới bờ, thuyền tới vị trí \[C\] cách \[A\] một khoảng là \(22\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}\) Trong suốt quá trình qua sông, vận tốc chuyển động của xuồng là \(v = 2\,{\rm{m/s}}\).

Biết độ dài quãng đường xuồng đi được cho bởi hàm số \(s = vt\), với \(t\) là thời gian. Tính khoảng cách AB giữa hai bờ sông biết rằng để đi từ B tới C thì xuồng mất khoảng thời gian là \(61\) giây.

2) Cho hình vuông \(ABCD\) lấy \(M\) trên đường chéo \(AC\left( {AM > MC} \right)\). Kẻ \(MI\) vuông góc với \(AD\left( {I \in AD} \right)\). Gọi \(P,N\) lần lượt là điểm đối xứng của \(M\) và \(A\) qua \(I\).

a) Tứ giác \(AMNP\) là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh \(BM = PD\).

c) Gọi \(Q\) là giao điểm của \(BM\) và \(PD\). Chứng minh ba điểm \(C,\,\,Q,\,\,N\) thẳng hàng.

1) Ta có: \(BC = 2.61 = 122\,({\rm{m}})\)

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) ta có

\(A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {122^2} - {22^2} = \left( {122 + 22} \right)\left( {122 - 22} \right) = 144 \cdot 100 = 14\,\,400\)

Do đó \(AB = \sqrt {14400} = 120\,({\rm{m}})\).

2)

a) Theo giả thiết, \(P,N\) lần lượt là điểm đối xứng của \(M\) và \(A\) qua \(I\) nên \(I\) là trung điểm của \(AN,\,MP\)

Suy ra tứ giác \(AMNP\) là hình bình hành (dhnb).

Do \(MP \bot AN\) nên \(AMNP\) là hình thoi.

Xét tam giác \(AIM\) có \(\widehat {AIM} = 90^\circ \), \(\widehat {IAM} = 45^\circ \) (do \(ABCD\) là hình vuông)

Nên \(\Delta AIM\) vuông cân tại \(I\) nên \(AI = IM\). Do đó \(AN = MP\).

Hình thoi \(AMNP\) có \(AN = MP\) nên \(AMNP\) là hình vuông.

b) Xét \(\Delta APD\) và \(\Delta AMD\), ta có:

\(AD\) là cạnh chung;

\(\widehat {PAD} = \widehat {MAD}\,\,\,\left( {\widehat {PAD} = \widehat {PAN} = 45^\circ = \widehat {MAN} = \widehat {MAD}} \right);\)

\(AP = AM\) (do \(AMNP\) là hình vuông).

Vậy \(\Delta APD = \Delta AMD\) (c.g.c)

Suy ra \(PD = MD\) (3)

Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ADM\), ta có:

\(AM\) là cạnh chung;

\(\widehat {BAM} = \widehat {DAM}\,\,\,\left( {\widehat {BAM} = \widehat {BAC} = 45^\circ = \widehat {DAC} = \widehat {DAM}} \right);\)

\(AB = AD\) (do \(ABCD\) là hình vuông).

Vậy \(\Delta ABM = \Delta ADM\) (c.g.c).

Suy ra \(BM = MD\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(BM = PD.\)

c)

Xét tứ giác \(APQM\), ta có: \(\widehat {MQP} = 360 - \widehat {MAP} - \widehat {APQ} - \widehat {AMQ}\)

Mà \(\widehat {APQ} = \widehat {AMD} = \widehat {AMB}\)

Nên \(\widehat {MQP} = 360^\circ - 90^\circ - \left( {\widehat {AMB} + \widehat {AMQ}} \right) = 360^\circ - 90^\circ - 180^\circ = 90^\circ \).

Ta có \(I\) là giao 2 đường chéo hình vuông \(AMNP\), \(O\) là giao điểm của 2 đường chéo hình vuông \(ABCD\).

Ta có: \(IQ = \frac{1}{2}PM = \frac{1}{2}AN\) nên \(\widehat {AQN} = 90^\circ ,\,\,OQ = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}AC.\)  

Do đó \(\widehat {AQC} = 90^\circ \).

Vậy \(\widehat {AQN} + \widehat {AQC} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \) nên \(C,Q,N\) thẳng hàng.