Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\,\,\left( {AB < AC} \right)\) có \(AH\) là đường cao. Kẻ \(HE \bot AB\) tại \(E,\) kẻ \(HF \bot AC\) tại \(F.\)

a) Chứng minh tứ giác \(AEHF\) là hình chữ nhật.

b) Lấy điểm \(M\) đối xứng với điểm \(A\) qua điểm \(F.\) Chứng minh tứ giác \[EFMH\] là hình bình hành.

c) Lấy điểm \(D\) đối xứng với \(H\) qua \(F.\) Chứng minh tứ giác \(AHMD\) là hình thoi và \(EF \bot DC.\)

a) \(\frac{{x + y}}{{2y}} + \frac{{2x - y}}{{2y}} = \frac{{x + y + 2x - y}}{{2y}} = \frac{{3x}}{{2y}}.\)

b) \(\frac{{{x^2} - 5x}}{{x - 3}} - \frac{{x - 9}}{{x - 3}} = \frac{{{x^2} - 5x - x + 9}}{{x - 3}} = \frac{{{x^2} - 6x + 9}}{{x - 3}} = \frac{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{x - 3}} = x - 3.\)

c) \(\frac{{x + 2}}{{x - 3}} + \frac{2}{{x + 3}} + \frac{{3{x^2} + x}}{{9 - {x^2}}}\)

\( = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{2\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} - \frac{{3{x^2} + x}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{{x^2} + 5x + 6 + 2x - 6 - 3{x^2} - x}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{ - 2{x^2} + 6x}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{ - 2x(x - 3)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{ - 2x}}{{x + 3}}.\)