Giải hệ phương trình a) { 1/x − 1/y = 1; 3x + 4y = 5

a) Điều kiện \(x \ne 0,\,y \ne 0\)

Đặt \(X = \frac{1}{x},\,Y = \frac{1}{y}\) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}X - Y = 1\\3X + 4Y = 5\end{array} \right.\)

Thay \(X = 1 + Y\) vào phương trình thứ hai

\(\begin{array}{l}3(1 + Y)\, + \,4Y = 5\\Y = \frac{2}{7}\end{array}\)

khi đó \(X = 1 + \frac{2}{7} = \frac{9}{7}\)

Trở lại ẩn \(x,\,y\) của hệ: \(X = \frac{9}{7} = \frac{1}{x}\,hay\,x = \frac{7}{9}\)

\(\begin{array}{l}Y = \frac{2}{7} = \frac{1}{y}\\y = \frac{7}{2}\end{array}\)

Vậy hệ có nghiệm \(\left( {\frac{7}{9};\,\frac{7}{2}} \right)\)

c) Đặt \(X = {x^2},\,Y = {y^2}\) (Điều kiện \(X \ge 0,\,Y \ge 0\))

Ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3X + Y = 5\\X - 3Y = 1\end{array} \right.\) Giải hệ bằng phương pháp thay thế ta được:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}X = \frac{8}{5}\\Y = \frac{1}{5}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = \frac{8}{5}\\{y^2} = \frac{1}{5}\end{array} \right.\end{array}\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x =  \pm \sqrt {\frac{8}{5}}  =  \pm \frac{{2\sqrt {10} }}{5}\\y =  \pm \frac{1}{{\sqrt 5 }} =  \pm \frac{{\sqrt 5 }}{5}\end{array} \right.\)

Vậy hệ có 4 nghiệm:

\(\left( {\frac{{2\sqrt {10} }}{5};\,\frac{{\sqrt 5 }}{5}} \right);\,\left( {\frac{{2\sqrt {10} }}{5};\, - \frac{{\sqrt 5 }}{5}} \right);\,\left( { - \frac{{2\sqrt {10} }}{5};\frac{{\sqrt 5 }}{5}} \right);\,\left( { - \frac{{2\sqrt {10} }}{5};\, - \frac{{\sqrt 5 }}{5}} \right)\)

b) Điều kiện \(x \ne 2,\,y \ne 1\) . Đặt \(X = \frac{1}{{x - 2}},\,Y = \frac{1}{{y - 1}}\)

Ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}X + Y = 2\\2X - 3Y = 1\end{array} \right.\) Giải ra ta được \(\left\{ \begin{array}{l}X = \frac{7}{5}\\Y = \frac{3}{5}\end{array} \right.\)

Khi đó

 \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x - 2}} = \frac{7}{5}\\\frac{1}{{y - 1}} = \frac{3}{5}\end{array} \right.\\\end{array}\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 = \frac{5}{7}\\y - 1 = \frac{5}{3}\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{19}}{7}\\y = \frac{8}{3}\end{array} \right.\)

Vậy hệ có nghiệm \(\left( {\frac{{19}}{7},\,\frac{8}{3}} \right)\)