Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì bể sẽ đầy trong \[1\] giờ \[20\] phút. Nếu mở vòi thứ nhất trong \[10\] phút và vòi thứ hai trong \[12\] phút thì chỉ được \[\frac{2}{{15}}\] bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu ?

Ta có \[4\frac{4}{5}\] giờ = \[\frac{{24}}{5}\] giờ.

Gọi \[x\] (giờ) là thời gian để vòi thứ nhất chảy đầy bể (\[x > 0\]) ; \[y\] (giờ) là thời gian để vòi thứ hai chảy đầy bể (\[y > 0\]).

Trong một giờ vòi thứ nhất chảy được \[\frac{1}{x}\] bể, vòi thứ hai chảy được \[\frac{1}{y}\] bể.

Hai vòi cùng chảy đầy bể sau \[\frac{{24}}{5}\] giờ nên \[1\] giờ cả hai cùng chảy được \[\frac{5}{{24}}\] bể. Ta có phương trình :

                                       \[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{{24}}\]                 (1)

Trong \[9\] giờ, vòi thứ nhất chảy được \[\frac{9}{x}\] bể và \[\frac{6}{5}\] giờ, hai vòi cùng chảy được \[\frac{6}{5}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right)\] bể nên ta có phương trình : \[\frac{9}{x} + \frac{6}{5}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = 1\] (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :  \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{{24}}\\\frac{9}{x} + \frac{6}{5}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = 1\end{array} \right.\]

Đặt \[u = \frac{1}{x},\,y = \frac{1}{y}\]. Ta có hệ :

\[\left\{ \begin{array}{l}u + v = \frac{5}{{24}}\\9u + \frac{6}{5}\left( {u + v} \right) = 1\end{array} \right.\]    

\[\left\{ \begin{array}{l}u + v = \frac{5}{{24}}\\51u + 6v = 5\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}u = \frac{1}{{12}}\\v = \frac{1}{8}\end{array} \right.\] 

\[\left\{ \begin{array}{l}x = 12\\y = 8\end{array} \right.\]

Vậy nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau 8 giờ sẽ đầy bể.

Gọi thời gian để đội một làm một mình xong công việc là \(x\) (ngày).

Gọi thời gian để đội hai làm một mình xong công việc là \(y\) (ngày).

Một ngày đội một làm được \(\frac{1}{x}\) (công việc).

Một ngày đội hai làm được \(\frac{1}{y}\) (công việc).

 Ta có hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{18}}\\\frac{6}{x} + \frac{8}{y} = \frac{2}{5}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{1}{{45}}\\\frac{1}{y} = \frac{1}{{30}}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 45\\y = 30.\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy đội một làm 45 ngày và đội hai làm 30 ngày.