Giải các phương trình sau:

a) \(\frac{1}{{x - 2}} + 3 = \frac{{3 - x}}{{x - 2}}\);          b) \(\frac{{3x - 2}}{{x + 7}} = \frac{{6x + 1}}{{2x - 3}}\);

c) \(\frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = \frac{4}{{{x^2} - 1}}\);                                           d) \(2x - \frac{{2{x^2}}}{{x + 3}} = \frac{{4x}}{{x + 3}} + \frac{2}{7}\).

a) ĐKХĐ: \(x \ne 1\), MTC: \({x^3} - 1 = (x - 1)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\).

\(\frac{1}{{x - 1}} - \frac{{3{x^2}}}{{{x^3} - 1}} = \frac{{2x}}{{{x^2} + x + 1}}\)

\(\frac{{{x^2} + x + 1}}{{(x - 1)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} - \frac{{3{x^2}}}{{{x^3} - 1}} = \frac{{2x(x - 1)}}{{(x - 1)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)

\({x^2} + x + 1 - 3{x^2} = 2{x^2} - 2x\)

\[4{x^2} - 3x - 1 = 0\]

\(\left( {3{x^2} - 3x} \right) + \left( {{x^2} - 1} \right) = 0\)

\(3x(x - 1) + (x - 1)(x + 1) = 0\)

\((x - 1)(4x + 1) = 0\)

\[x - 1 = 0\] hoặc \[4x + 1 = 0\]

\[x = 1\] (loại) hoặc \[x =  - \frac{1}{4}\] (TMĐK)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \[x =  - \frac{1}{4}\].

b) ĐKХĐ: \(x \ne 1,x \ne 2\) và \(x \ne 3\). MTC: \((x - 1)(x - 2)(x - 3)\).

\(\frac{3}{{(x - 1)(x - 2)}} + \frac{2}{{(x - 3)(x - 1)}} = \frac{1}{{(x - 2)(x - 3)}}\)

\(\frac{{3(x - 3)}}{{(x - 1)(x - 2)(x - 3)}} + \frac{{2(x - 2)}}{{(x - 1)(x - 2)(x - 3)}} = \frac{{x - 1}}{{(x - 1)(x - 2)(x - 3)}}\)

\(3(x - 3) + 2(x - 2) = x - 1\)

\(3x - 9 + 2x - 4 = x - 1\)

\(4x = 12\)

\(x = 3\) (không thỏa mãn ĐKXĐ).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

c) ĐKХĐ: \(x \ne  - 2\), MTC: \({x^3} + 8 = (x + 2)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)\)

\(1 + \frac{1}{{x + 2}} = \frac{{12}}{{8 + {x^3}}}\)

\(\frac{{{x^3} + 8}}{{{x^3} + 8}} + \frac{{{x^2} - 2x + 4}}{{(x + 2)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}} = \frac{{12}}{{{x^3} + 8}}\)

\({x^3} + 8 + {x^2} - 2x + 4 = 12\)

\({x^3} + {x^2} - 2x = 0\)

\(x\left( {{x^2} + x - 2} \right) = 0\)

TH1: \[x = 0\]

TH2: \[{x^2} + x - 2 = 0\]

\[\left( {{x^2} - 1} \right) + (x - 1) = 0\]

\[\left( {{{\rm{x}}^2} - 1} \right) + ({\rm{x}} - 1) = 0\]

\[\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) + \left( {x - 1} \right) = 0\]

\[(x - 1)(x + 2) = 0\]

\[x = 1\] (TMĐK) hoặc \[x =  - 2\] (loại)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \[x = 1\].

d) ĐKХĐ: \(x \ne  \pm 3\) và \(x \ne  - \frac{7}{2}\), MTC: \((x - 3)(x + 3)(2x + 7)\)

\(\frac{{13}}{{(x - 3)(2x + 7)}} + \frac{1}{{2x + 7}} = \frac{6}{{(x - 3)(x + 3)}}\)

\(\frac{{13(x + 3)}}{{(x - 3)(x + 3)(2x + 7)}} + \frac{{(x - 3)(x + 3)}}{{(x - 3)(x + 3)(2x + 7)}} = \frac{{6(2x + 7)}}{{(x - 3)(x + 3)(2x + 7)}}\)

\(13(x + 3) + (x - 3)(x + 3) = 6(2x + 7)\)

\(13x + 39 + {x^2} - 9 = 12x + 42\)

\({x^2} + x - 12 = 0\)

\({x^2} - 3x + 4x - 12 = 0\)

\(x(x - 3) + 4(x - 3) = 0\)

\[x - 3)(x + 4) = 0\]

\[x - 3 = 0\] hoặc \[x + 4 = 0\]

\[x = 3\] (loại) hoặc \[x =  - 4\] (TMĐK)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \[x =  - 4\].