a) \[\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} < {a^2} + \frac{4}{5}\] với \[a \ne 0\]

b) \[2m + 4 > 2n + 3\] với \[m > n\]

a) \(C =  - {x^2} + 5x =  - \left( {{x^2} - 5x} \right)\) \( =  - \left( {{x^2} - 2 \cdot \frac{5}{2}x + \frac{{25}}{4} - \frac{{25}}{4}} \right)\)\( =  - \left[ {{{\left( {x - \frac{5}{2}} \right)}^2} - \frac{{25}}{4}} \right] =  - {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{25}}{4} \le \frac{{25}}{4}\)

Do đó \(\max {\rm{C}} = \frac{{25}}{4}\) khi và chỉ khi \(x = \frac{5}{2}\).

b) \(D = (2 - 2x)(2x - 1) \le \frac{{{{[(2 - 2x) + (2x - 1)]}^2}}}{4}\)\( \Leftrightarrow {\rm{D}} \le \frac{1}{4}{\rm{. }}\)$

Do đó \(\max D = \frac{1}{4}\) khi và chỉ khi \(2 - 2x = 2x - 1 \Leftrightarrow x = \frac{3}{4}\).

a) \(A = 2{x^2} + 28x + 98 + 3 = 2{(x + 7)^2} + 3 \ge 3\). Do đó \(\min A = 3\) khi và chỉ khi \({\rm{x}} =  - 7\).

b) \(B = \frac{{{{(x + 1)}^2}}}{x} = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{x} = x + \frac{1}{x} + 2\). Vì \(x > 0\) nên \(x + \frac{1}{x} \ge 2\), do đó \(B \ge 4\).

Vậy \(\min B = 4\) khi và chỉ khi \(x = \frac{1}{x} \Leftrightarrow x = 1\).