Chứng minh \[{x^2} + {y^2} \ge 2xy\] với mọi số thực \[x,y\]

a) \(C =  - {x^2} + 5x =  - \left( {{x^2} - 5x} \right)\) \( =  - \left( {{x^2} - 2 \cdot \frac{5}{2}x + \frac{{25}}{4} - \frac{{25}}{4}} \right)\)\( =  - \left[ {{{\left( {x - \frac{5}{2}} \right)}^2} - \frac{{25}}{4}} \right] =  - {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{25}}{4} \le \frac{{25}}{4}\)

Do đó \(\max {\rm{C}} = \frac{{25}}{4}\) khi và chỉ khi \(x = \frac{5}{2}\).

b) \(D = (2 - 2x)(2x - 1) \le \frac{{{{[(2 - 2x) + (2x - 1)]}^2}}}{4}\)\( \Leftrightarrow {\rm{D}} \le \frac{1}{4}{\rm{. }}\)$

Do đó \(\max D = \frac{1}{4}\) khi và chỉ khi \(2 - 2x = 2x - 1 \Leftrightarrow x = \frac{3}{4}\).