Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của (D = frac{{4x + 3}}{{{x^2} + 1}} ).

({ rm{D}} = frac{{{{ rm{x}}^2} + 4x + 4 - {{ rm{x}}^2} - 1}}{{{{ rm{x}}^2} + 1}} = frac{{{{(x + 2)}^2}}}{{{{ rm{x}}^2} + 1}} - 1 ge - 1 ). ({ rm{D}} = frac{{4 left( {{{ rm{x}}^2} + 1} right) - left( {4{{ rm{x}}^2} - 4x + 1} right)}}{{{x^2} + 1}} = 4 - frac{{{{(2x - 1)}^2}}}{{{x^2} + 1}} le 4 ). ( min D = - 1, max D = 4 )

Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của D = (4x + 3)/(x^2 + 1).

Câu 1

Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:

a) $C = - {x^2} + 5x$ b) $D = 2(1 - x)(2x - 1)$.

Xem đáp án

Lời giải

a) $C = - {x^2} + 5x = - \left( {{x^2} - 5x} \right)$ $ = - \left( {{x^2} - 2 \cdot \frac{5}{2}x + \frac{{25}}{4} - \frac{{25}}{4}} \right)$$ = - \left[ {{{\left( {x - \frac{5}{2}} \right)}^2} - \frac{{25}}{4}} \right] = - {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{25}}{4} \le \frac{{25}}{4}$

Do đó $\max {\rm{C}} = \frac{{25}}{4}$ khi và chỉ khi $x = \frac{5}{2}$.

b) $D = (2 - 2x)(2x - 1) \le \frac{{{{[(2 - 2x) + (2x - 1)]}^2}}}{4}$$ \Leftrightarrow {\rm{D}} \le \frac{1}{4}{\rm{. }}$$

Do đó $\max D = \frac{1}{4}$ khi và chỉ khi $2 - 2x = 2x - 1 \Leftrightarrow x = \frac{3}{4}$.

Câu 2

Cho $a > b > 0$, chứng ${\mathop{\rm minh}\nolimits} \frac{1}{a} < \frac{1}{b}$.

Xem đáp án

Lời giải

$\frac{1}{{\;{\rm{b}}}} - \frac{1}{{\rm{a}}} = \frac{{{\rm{a}} - {\rm{b}}}}{{{\rm{ab}}}} > 0 \Rightarrow \frac{1}{{\;{\rm{b}}}} > \frac{1}{{\rm{a}}}$

Câu 3