Rút gọn biểu thức

a) \(\frac{{\sqrt {15} - \sqrt 6 }}{{\sqrt {35} - \sqrt {14} }}\); b) \(\frac{{\sqrt {10} + \sqrt {15} }}{{\sqrt 8 + \sqrt {12} }}\)

c) \(\frac{{x + \sqrt {xy} }}{{y + \sqrt {xy} }}\) d) \(\frac{{\sqrt a + a\sqrt b - \sqrt b - b\sqrt a }}{{ab - 1}}\)

e) \(\frac{{2\sqrt {15} - 2\sqrt {10} + \sqrt 6 - 3}}{{2\sqrt 5 - 2\sqrt {10} - \sqrt 3 + \sqrt 6 }}\) f) \(\frac{{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 + \sqrt 8 + \sqrt {16} }}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 }}\)

Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia lớp 9 (có lời giải) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) \(\frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }};\) b) \(\frac{{\sqrt 5 }}{2};\) c) \(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt y }};\) d) \(\frac{{\sqrt a - \sqrt b }}{{\sqrt {ab - 1} }};\) e) \(\frac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{1 - \sqrt 2 }}\)

f) Tách \(\sqrt {16} = 4 = \sqrt 4 + \sqrt 4 \)
\[\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 } \right) + \left( {\sqrt 4 + \sqrt 6 + \sqrt 8 } \right) = \left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 } \right)\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\]

Kết quả: \(1 + \sqrt 2 \).

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Chứng minh đẳng thức

a) \(\sqrt {9 - \sqrt {17} } \cdot \sqrt {9 + \sqrt {17} } = 8\); b) \(\left( {\frac{1}{{5 - 2\sqrt 6 }} + \frac{2}{{5 + 2\sqrt 6 }}} \right)\left( {15 + 2\sqrt 6 } \right) = 201\)

Xem đáp án

Lời giải

a) \(VT = \sqrt {81 - 17} - \sqrt {64} = 8\) b) \({\rm{VT}} = (15 - 2\sqrt 6 )(15 + 2\sqrt 6 ) = 201\)

Câu 2

a) Cho \(a > 0.\) Chứng minh \(a + \frac{1}{a} \ge 2;\)

b) Cho \(a \ge 0,\;b \ge 0.\) Chứng minh \(\sqrt {\frac{{a + b}}{2}} \ge \frac{{\sqrt a + \sqrt b }}{2};\)

c) Cho \(a,b > 0.\) Chứng minh \(\sqrt a + \sqrt b \le \frac{a}{{\sqrt b }} + \frac{b}{{\sqrt a }};\)

d) Chứng minh \(\frac{{{x^2} + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} \ge 2\) với mọi \(x.\)

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có \(a + \frac{1}{a} \ge 2\)

\(\frac{{{a^2} + 1 - 2a}}{a} \ge 0\)

\(\frac{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}{a} \ge 0\) (đúng với mọi \(a > 0\)).

c) Với \(a > 0,\,\,b > 0\) ta có

\(\begin{array}{l}\sqrt a + \sqrt b \le \frac{a}{{\sqrt b }} + \frac{b}{{\sqrt a }}\\a\sqrt b + b\sqrt a \le a\sqrt a + b\sqrt b \\a\left( {\sqrt b - \sqrt a } \right) - b\left( {\sqrt b - \sqrt a } \right) \le 0\end{array}\)

\[\begin{array}{l}\left( {\sqrt b - \sqrt a } \right)\left( {a - b} \right) \le 0\\\left( {\sqrt b - \sqrt a } \right)\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) \le 0\end{array}\]

\[ - {\left( {\sqrt b - \sqrt a } \right)^2}\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) \le 0\](đúng).

b) Với \(a \ge 0\;,\,\,b \ge 0\) ta có

\(\sqrt {\frac{{a + b}}{2}} \ge \frac{{\sqrt a + \sqrt b }}{2}\)

\(\begin{array}{l}{\left( {\sqrt {\frac{{a + b}}{2}} } \right)^2} \ge {\left( {\frac{{\sqrt a + \sqrt b }}{2}} \right)^2}\\\frac{{a + b}}{2} \ge \frac{{a + b + 2\sqrt {ab} }}{4}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}2\left( {a + b} \right) \ge a + b + 2\sqrt {ab} \\a + b - 2\sqrt {ab} \ge 0\end{array}\)

\({\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\) (đúng).

d) Ta có \(\frac{{{x^2} + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} \ge 2\)

\(\begin{array}{l}{x^2} + 2 \ge 2\sqrt {{x^2} + 1} \\\left( {{x^2} + 1} \right) - 2\sqrt {{x^2} + 1} + 1 \ge 0\\{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - 1} \right)^2} \ge 0\end{array}\)

Câu 3