Cho \(a \ge 0,b \ge 0,c \ge 0\). Chứng minh rằng:
a) \(\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} \) (bất đẳng thức Cauchy);
b) \(a + b + c \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \);
c) \(a + b + \frac{1}{2} \ge \sqrt a + \sqrt b \).
Cho \(a \ge 0,b \ge 0,c \ge 0\). Chứng minh rằng:
a) \(\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} \) (bất đẳng thức Cauchy);
b) \(a + b + c \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \);
c) \(a + b + \frac{1}{2} \ge \sqrt a + \sqrt b \).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) \(\frac{{a + b}}{2} - \sqrt {ab} = \frac{1}{2}{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\)
b) \(a + b + c - \sqrt {ab} - \sqrt {bc} - \sqrt {ca} = \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt b - \sqrt c } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt c - \sqrt a } \right)}^2}} \right] \ge 0\,;\)
c) \(a + b + \frac{1}{2} - \sqrt a - \sqrt b = {\left( {\sqrt 1 - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {\sqrt b - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) \(VT = \sqrt {81 - 17} - \sqrt {64} = 8\) b) \({\rm{VT}} = (15 - 2\sqrt 6 )(15 + 2\sqrt 6 ) = 201\)
Lời giải
|
a) Ta có \(a + \frac{1}{a} \ge 2\) \(\frac{{{a^2} + 1 - 2a}}{a} \ge 0\) \(\frac{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}{a} \ge 0\) (đúng với mọi \(a > 0\)). c) Với \(a > 0,\,\,b > 0\) ta có \(\begin{array}{l}\sqrt a + \sqrt b \le \frac{a}{{\sqrt b }} + \frac{b}{{\sqrt a }}\\a\sqrt b + b\sqrt a \le a\sqrt a + b\sqrt b \\a\left( {\sqrt b - \sqrt a } \right) - b\left( {\sqrt b - \sqrt a } \right) \le 0\end{array}\) \[\begin{array}{l}\left( {\sqrt b - \sqrt a } \right)\left( {a - b} \right) \le 0\\\left( {\sqrt b - \sqrt a } \right)\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) \le 0\end{array}\] \[ - {\left( {\sqrt b - \sqrt a } \right)^2}\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) \le 0\](đúng).
|
b) Với \(a \ge 0\;,\,\,b \ge 0\) ta có \(\sqrt {\frac{{a + b}}{2}} \ge \frac{{\sqrt a + \sqrt b }}{2}\) \(\begin{array}{l}{\left( {\sqrt {\frac{{a + b}}{2}} } \right)^2} \ge {\left( {\frac{{\sqrt a + \sqrt b }}{2}} \right)^2}\\\frac{{a + b}}{2} \ge \frac{{a + b + 2\sqrt {ab} }}{4}\end{array}\) \(\begin{array}{l}2\left( {a + b} \right) \ge a + b + 2\sqrt {ab} \\a + b - 2\sqrt {ab} \ge 0\end{array}\) \({\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\) (đúng). d) Ta có \(\frac{{{x^2} + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} \ge 2\) \(\begin{array}{l}{x^2} + 2 \ge 2\sqrt {{x^2} + 1} \\\left( {{x^2} + 1} \right) - 2\sqrt {{x^2} + 1} + 1 \ge 0\\{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - 1} \right)^2} \ge 0\end{array}\) |
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập