Cho \(a \ge 0,b \ge 0,c \ge 0\). Chứng minh rằng:

a) \(\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} \) (bất đẳng thức Cauchy);

b) \(a + b + c \ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ca} \);

c) \(a + b + \frac{1}{2} \ge \sqrt a  + \sqrt b \).

Rút gọn biểu thức

a) \(\sqrt {9{{(3 - a)}^2}} \) với \(a > 3\); b) \(\sqrt {{a^2}{{(a - 2)}^2}} \) với \(a < 0\).

Chứng minh đẳng thức

a) \(\sqrt {9 - \sqrt {17} }  \cdot \sqrt {9 + \sqrt {17} }  = 8\);                                                      b) \(\left( {\frac{1}{{5 - 2\sqrt 6 }} + \frac{2}{{5 + 2\sqrt 6 }}} \right)\left( {15 + 2\sqrt 6 } \right) = 201\)

Rút gọn rồi tính

a) \(\sqrt {{{21,8}^2} - {{18,2}^2}} ;\)             b) \(\sqrt {{{6,8}^2} - {{3,2}^2}} ;\)                     c) \(\sqrt {{{146,5}^2} - {{109.5}^2} + 27 \cdot 256} \)

Rút gọn và tính:

a) \(A = \frac{{\sqrt {a - 2\sqrt {ab}  + b} }}{{\sqrt {\sqrt a  - \sqrt b } }}\) (với \(a > b > 0\)) tại \(a = 36;\,b = 25.\)

b)\(B = \frac{{\sqrt {x - 3} }}{{\sqrt {\sqrt x  + \sqrt 3 } }}:\frac{{\sqrt {\sqrt x  - \sqrt 3 } }}{{\sqrt x }}\) (với \(x > 3\)) tại \(x = 81.\)

c) \(C = \sqrt {\frac{{{{\left( {x - 5} \right)}^4}}}{{{{\left( {4 - x} \right)}^2}}}}  - \frac{{{x^2} - 25}}{{x - 4}}\,\,\,\,(x < 4)\), tại \(x = 3.\)

d) \(M = 3x - \sqrt {27}  + \frac{{\sqrt {{x^3} + 3{x^2}} }}{{\sqrt {x + 3} }}\,\,\,(x \ge 0)\), tại \(x = \sqrt 3 .\)

a) Cho \(a > 0.\) Chứng minh \(a + \frac{1}{a} \ge 2;\)

b) Cho \(a \ge 0,\;b \ge 0.\) Chứng minh \(\sqrt {\frac{{a + b}}{2}}  \ge \frac{{\sqrt a  + \sqrt b }}{2};\)

c) Cho \(a,b > 0.\) Chứng minh \(\sqrt a  + \sqrt b  \le \frac{a}{{\sqrt b }} + \frac{b}{{\sqrt a }};\)

d) Chứng minh \(\frac{{{x^2} + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} \ge 2\) với mọi \(x.\)

Thực hiện phép tính

a) \(\sqrt {\frac{1}{8}}  \cdot \sqrt 2  \cdot \sqrt {125}  \cdot \sqrt {\frac{1}{5}} ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {\sqrt 2  - 1}  \cdot \sqrt {\sqrt 2  + 1} \).

b) \(\sqrt {{{(\sqrt 2  - 3)}^2}}  \cdot \sqrt {11 + 6\sqrt 2 } ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {{{(\sqrt 3  - 3)}^2}}  \cdot \sqrt {\frac{1}{{3 - \sqrt 3 }}} \).

\(c)\, - \frac{2}{3}\sqrt {\frac{{{{(a - b)}^2}{b^5}}}{c}}  \cdot \frac{9}{4}\sqrt {\frac{{{c^3}}}{{2(a - b)}}} \sqrt {98b} \)

d) \(\left( {\sqrt 6  - 3\sqrt 3  + 5\sqrt 2  - \frac{1}{2}\sqrt 1 } \right)2\sqrt 6 \)

e) \(\left( {\sqrt {ab}  + 2\sqrt {\frac{b}{a}}  - \sqrt {\frac{a}{b} + \sqrt {\frac{1}{{ab}}} } } \right)\sqrt {ab} \).

g) \(\left( {\frac{{am}}{b}\sqrt {\frac{n}{m}}  - \frac{{ab}}{n}\sqrt {mn}  + \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}\sqrt {\frac{m}{n}} } \right){a^2}{b^2} \cdot \sqrt {\frac{n}{m}} \).