Rút gọn biểu thức

a) \(\,\frac{{x\sqrt x + y\sqrt y }}{{\sqrt x + \sqrt y }} - {\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)^2};\)

b) \(\,\,\sqrt {\frac{{x - 2\sqrt x + 1}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} ,\,\,\left( {x \ge 0} \right)\)

c)\(\,\frac{{x - 1}}{{\sqrt y - 1}}.\sqrt {\frac{{{{\left( {y - 2\sqrt y + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}} ,\,\,\left( {x \ne 1,y \ne 1,y > 0} \right)\).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia lớp 9 (có lời giải) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) \(\,\frac{{x\sqrt x + y\sqrt y }}{{\sqrt x + \sqrt y }} - {\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)^2};\)

Ta có \[\,\frac{{x\sqrt x + y\sqrt y }}{{\sqrt x + \sqrt y }} - {\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)^2} = \frac{{x\sqrt x + y\sqrt y }}{{\sqrt x + \sqrt y }} - \frac{{\left( {x - 2\sqrt {xy} + y} \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}{{\sqrt x + \sqrt y }}\]

\[\begin{array}{l} = \frac{{x\sqrt x + y\sqrt y - x\sqrt x - x\sqrt y + 2\sqrt {{x^2}y} + 2\sqrt {x{y^2}} - y\sqrt x - y\sqrt y }}{{\sqrt x + \sqrt y }}\\ = \frac{{ - x\sqrt y + 2x\sqrt y + 2y\sqrt x - y\sqrt x }}{{\sqrt x + \sqrt y }} = \frac{{x\sqrt y + y\sqrt x }}{{\sqrt x + \sqrt y }}\\ = \frac{{\sqrt {xy} \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}{{\sqrt x + \sqrt y }} = \sqrt {xy.} \end{array}\]

b)\[\,\sqrt {\frac{{x - 2\sqrt x + 1}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} = \sqrt {\frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}} = \frac{{\left| {\sqrt x - 1} \right|}}{{\sqrt x + 1}}.\]

c)\(\,\frac{{x - 1}}{{\sqrt y - 1}}.\sqrt {\frac{{{{\left( {y - 2\sqrt y + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}} = \frac{{x - 1}}{{\sqrt y - 1}}.\sqrt {\frac{{{{\left( {\sqrt y - 1} \right)}^4}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}} = \frac{{x - 1}}{{\sqrt y - 1}}.\frac{{{{\left( {\sqrt y - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{\sqrt y - 1}}{{x - 1}}.\)

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Chứng minh đẳng thức

a) \(\sqrt {9 - \sqrt {17} } \cdot \sqrt {9 + \sqrt {17} } = 8\); b) \(\left( {\frac{1}{{5 - 2\sqrt 6 }} + \frac{2}{{5 + 2\sqrt 6 }}} \right)\left( {15 + 2\sqrt 6 } \right) = 201\)

Xem đáp án

Lời giải

a) \(VT = \sqrt {81 - 17} - \sqrt {64} = 8\) b) \({\rm{VT}} = (15 - 2\sqrt 6 )(15 + 2\sqrt 6 ) = 201\)

Câu 2

a) Cho \(a > 0.\) Chứng minh \(a + \frac{1}{a} \ge 2;\)

b) Cho \(a \ge 0,\;b \ge 0.\) Chứng minh \(\sqrt {\frac{{a + b}}{2}} \ge \frac{{\sqrt a + \sqrt b }}{2};\)

c) Cho \(a,b > 0.\) Chứng minh \(\sqrt a + \sqrt b \le \frac{a}{{\sqrt b }} + \frac{b}{{\sqrt a }};\)

d) Chứng minh \(\frac{{{x^2} + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} \ge 2\) với mọi \(x.\)

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có \(a + \frac{1}{a} \ge 2\)

\(\frac{{{a^2} + 1 - 2a}}{a} \ge 0\)

\(\frac{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}{a} \ge 0\) (đúng với mọi \(a > 0\)).

c) Với \(a > 0,\,\,b > 0\) ta có

\(\begin{array}{l}\sqrt a + \sqrt b \le \frac{a}{{\sqrt b }} + \frac{b}{{\sqrt a }}\\a\sqrt b + b\sqrt a \le a\sqrt a + b\sqrt b \\a\left( {\sqrt b - \sqrt a } \right) - b\left( {\sqrt b - \sqrt a } \right) \le 0\end{array}\)

\[\begin{array}{l}\left( {\sqrt b - \sqrt a } \right)\left( {a - b} \right) \le 0\\\left( {\sqrt b - \sqrt a } \right)\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) \le 0\end{array}\]

\[ - {\left( {\sqrt b - \sqrt a } \right)^2}\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) \le 0\](đúng).

b) Với \(a \ge 0\;,\,\,b \ge 0\) ta có

\(\sqrt {\frac{{a + b}}{2}} \ge \frac{{\sqrt a + \sqrt b }}{2}\)

\(\begin{array}{l}{\left( {\sqrt {\frac{{a + b}}{2}} } \right)^2} \ge {\left( {\frac{{\sqrt a + \sqrt b }}{2}} \right)^2}\\\frac{{a + b}}{2} \ge \frac{{a + b + 2\sqrt {ab} }}{4}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}2\left( {a + b} \right) \ge a + b + 2\sqrt {ab} \\a + b - 2\sqrt {ab} \ge 0\end{array}\)

\({\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\) (đúng).

d) Ta có \(\frac{{{x^2} + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} \ge 2\)

\(\begin{array}{l}{x^2} + 2 \ge 2\sqrt {{x^2} + 1} \\\left( {{x^2} + 1} \right) - 2\sqrt {{x^2} + 1} + 1 \ge 0\\{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - 1} \right)^2} \ge 0\end{array}\)

Câu 3