Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết tổng của hai chữ số đó bằng 10. Nếu thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số thì được số tự nhiên có ba chữ số, lấy số tự nhiên có ba chữ số này chia cho số cần tìm thì được thương là 7 và dư là 12.

 Suy ra \[A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {18^2} - {9^2} = 243,\] do đó \(AC = \sqrt {243} = 9\sqrt 3 {\rm{\;cm}}.\)

b) Xét \[\Delta ABH\] vuông tại \[H\], ta có:

\(AH = AB \cdot \sin B = 9 \cdot \sin 60^\circ = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Xét \(\Delta ACH\) vuông tại \(H\), ta có:

\[CH = AC \cdot \cos C = 9\sqrt 3 \cdot \cos 30^\circ = 13,5{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

c) Xét \[\Delta ABC\] có \[AD\] là tia phân giác của \[\widehat {BAC}\] nên ta có:

\[\frac{{DC}}{{DB}} = \frac{{AC}}{{AB}},\] hay \[\frac{{DC}}{{DB}} = \frac{{9\sqrt 3 }}{9} = \frac{{\sqrt 3 }}{1},\] suy ra \[DC = DB\sqrt 3 \].

Mà \[DC + DB = BC = 18\]

Suy ra \[DB\sqrt 3 + DB = 18\], hay \[DB\left( {\sqrt 3 + 1} \right) = 18\]

Do đó \[DB = \frac{{18}}{{\sqrt 3 + 1}} \approx 6,59{\rm{\;cm}}\] và \[DC = DB\sqrt 3 \approx 6,59 \cdot \sqrt 3 \approx 11,41\] (cm).

Lại có \(CH = CD + DH\) nên \(DH = CH - CD \approx 13,5 - 11,41 = 2,09{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Xét \[\Delta ADH\] vuông tại \[H\], theo định lí Pythagore, ta có:

\[A{D^2} = D{H^2} + A{H^2} \approx 2,{09^2} + {\left( {\frac{{9\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = 65,1181\]

Suy ra \[AD \approx \sqrt {65,1181} \approx 8,07{\rm{\;cm}}\].

Đổi: 1 giờ 20 phút \( = \frac{4}{3}\) giờ; 10 phút \( = \frac{{\rm{1}}}{{\rm{6}}}\) giờ; 12 phút \( = \frac{{\rm{1}}}{{\rm{5}}}\) (giờ).

Gọi \[x\] (giờ); \[y\] (giờ) lần lượt là thời gian vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy một mình thì đầy bể \(\left( {x > \frac{4}{3};\,\,y > \frac{4}{3}} \right).\)

⦁ Trong một giờ vòi thứ nhất chảy được: \(\frac{1}{x}\) (bể).

Trong một giờ vòi thứ hai chảy được: \(\frac{1}{y}\) (bể).

Do đó, trong một giờ cả hai vòi sẽ chảy được: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) (bể).

Theo bài, cả hai vòi cùng chảy thì sau \(\frac{4}{3}\) (giờ) sẽ đầy bể nên trong một giờ cả hai vòi sẽ chạy được: \(\frac{1}{{\frac{4}{3}}} = \frac{3}{4}\) (bể).

Do đó, ta có phương trình \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}\)    (1)

⦁ Khi mở vòi thứ nhất trong 10 phút thì vòi thứ nhất chảy được \(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x}\) (bể).

Khi mở vòi thứ hai trong 12 phút thì vòi thứ hai chảy được \(\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{y}\) (bể).

Theo bài, Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và mở vòi thứ hai chảy trong 12 phút thì sẽ đầy được \[\frac{2}{{15}}\] bể nên ta có phương trình \(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{y} = \frac{2}{{15}}\) (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}}\\{\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{y} = \frac{2}{{15}}}\end{array}} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ trên với 5, ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}}\\{\frac{5}{6} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{3}}\end{array}} \right.\)

Trừ từng vế của phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất của hệ trên, ta được:

\[\left( {1 - \frac{5}{6}} \right) \cdot \frac{1}{x} = \frac{3}{4} - \frac{2}{3}\] hay \(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{{12}}\), suy ra \(\frac{1}{x} = \frac{1}{2},\) nên \(x = 2\) (thỏa mãn).

Thay \(x = 2\) vào phương trình \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}\), ta được \(\frac{1}{2} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4},\) suy ra \(\frac{1}{y} = \frac{1}{4},\) nên \(y = 4\) (thỏa mãn).

Vậy vòi thứ nhất chảy một mình thì sau 2 giờ sẽ đầy bể; vòi thứ hai chảy một mình thì sau 4 giờ sẽ đầy bể.