Cho biểu thức \({\rm{P}} = \left( {\frac{1}{{\sqrt {\rm{x}} + 3}} + \frac{5}{{\sqrt {\rm{x}} - 3}} - \frac{6}{{9 - {\rm{x}}}}} \right):\frac{6}{{\sqrt {\rm{x}} + 2}}\).
a) Rút gọn \(P\).
b) Tìm các giá trị nguyên của \(x\) để \({\rm{P}}\) có giá trị nguyên.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 13 bài tập Toán 9 Kết nối tri thức Ôn tập cuối chương 3 có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Điều kiện : \(x \ge 0;x \ne 9\). Khi đó ta có

\(P = \frac{{\left( {\sqrt x - 3} \right) + 5\left( {\sqrt x + 3} \right) + 6}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x + 2}}{6} = \frac{{\sqrt x - 3 + 5\sqrt x + 15 + 6}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x + 2}}{6} = \frac{{6\sqrt x + 18}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x + 2}}{6}\)

\( = \frac{{6\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x + 2}}{6} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 3}}\)

Ta có \(P = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 3}} = \frac{{\sqrt x - 3 + 5}}{{\sqrt x - 3}} = 1 + \frac{5}{{\sqrt x - 3}}\).
P có giá trị nguyên \( \Leftrightarrow \frac{5}{{\sqrt x - 3}}\) có giá trị nguyên\( \Leftrightarrow \sqrt x - 3 \in U\left( 5 \right) \Leftrightarrow \sqrt x - 3 \in \left\{ { \pm 1; \pm 5} \right\}\)

Ta có bảng sau :

\(\sqrt {\rm{x}} - 3\)	1	-1	5	-5
\(\sqrt {\rm{x}} \)	4	2	8	-2
\({\rm{x}}\)	16	4	64	\(\parallel \)

Vậy khi \(x \in \left\{ {4,16,64} \right\}\) thì \(P\) có giá trị nguyên.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho biểu thức \(P = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{3 - 11\sqrt x }}{{9 - x}}\).
a) Rút gọn \(P\). b) Tính giá trị của \(P\) với \(x = \frac{{7 + 4\sqrt 3 }}{4}\).

Xem đáp án

Lời giải

a) Điều kiện : \(x \ge 0;x \ne 9\). Khi đó ta có

\(P = \frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right) + \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right) - 3 + 11\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{2x - 6\sqrt x + x + 4\sqrt x + 3 - 3 + 11\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)

\( = \frac{{3x + 9\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{3\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\)

b) Ta có \(x = \frac{{7 + 4\sqrt 3 }}{4} = {\left( {\frac{{2 + \sqrt 3 }}{2}} \right)^2} \Rightarrow \sqrt x = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{2}\).
Do đó \({\rm{P}} = \frac{{3 \cdot \frac{{2 + \sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{{2 + \sqrt 3 }}{2} - 3}} = \frac{{6 + 3\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{2}{{\sqrt 3 - 4}}\)\( = \frac{{6 + 3\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 - 4}} = \frac{{\left( {6 + 3\sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 3 + 4} \right)}}{{\left( {\sqrt 3 - 4} \right)\left( {\sqrt 3 + 4} \right)}}\; = \frac{{6\sqrt 3 + 24 + 9 + 12\sqrt 3 }}{{3 - 16}} = \frac{{ - \left( {33 + 18\sqrt 3 } \right)}}{{13}}\begin{array}{*{20}{r}}{}&\;\\{}&.\end{array}\)

Câu 2

Giải phương trình
a) \(\sqrt {25{{(3x - 1)}^2}} = 10\); b) \(\frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}} = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 2}}\).

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có \(\sqrt {25{{(3x - 1)}^2}} = 10\)

\(5\left| {3x - 1} \right| = 10\)

\(\left| {3x - 1} \right| = 2\)

\(3x - 1 = 2\) hoặc \(3x - 1 = - 2\)

\(x = 1\) \(x = - \frac{1}{3}\)

b) \(\frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}} = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 2}}\left( {\rm{*}} \right)\)
Điều kiện : \(x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9\). Khi đó ta có

\(\begin{array}{l}\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right) = \left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\rm{*}} \right)\\x + \sqrt x - 6 = x + 2\sqrt x - 15\end{array}\)

\(\begin{array}{l} - \sqrt x = - 9\\\sqrt x = 9\end{array}\)

\(x = 81{\rm{\;}}\)(thỏa mãn điều kiện)

Câu 3