Cho biểu thức \(P = \frac{1}{{\sqrt {x - 1} + \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt {x - 1} - \sqrt x }} + \frac{{x\sqrt x + x}}{{\sqrt x + 1}}\).
a) Rút gọn \(P\).
b) Chứng minh rằng biểu thức \({\rm{P}}\) luôn luôn không âm với mọi giá trị của \({\rm{x}}\) làm \({\rm{P}}\) xác định.
Cho biểu thức \(P = \frac{1}{{\sqrt {x - 1} + \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt {x - 1} - \sqrt x }} + \frac{{x\sqrt x + x}}{{\sqrt x + 1}}\).
a) Rút gọn \(P\).
b) Chứng minh rằng biểu thức \({\rm{P}}\) luôn luôn không âm với mọi giá trị của \({\rm{x}}\) làm \({\rm{P}}\) xác định.
Câu hỏi trong đề: Các dạng Bài tập cuối chương 3 lớp 9 (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Điều kiện : \(x \ge 1\). Khi đó ta có \(P = \frac{{\sqrt {x - 1} - \sqrt x + \sqrt {x - 1} + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt x } \right)\left( {\sqrt {x - 1} - \sqrt x } \right)}} + \frac{{x\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{2\sqrt {x - 1} }}{{ - 1}} + x = x - 2\sqrt {x - 1} \)
Ta có \(P = x - 2\sqrt {x - 1} = \left( {x - 1} \right) - 2\sqrt {x - 1} + 1 = {(\sqrt {x - 1} - 1)^2} \ge 0\)
Vậy P luôn luôn không âm với mọi \(x \ge 1\).Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
Vào phòng luyện đề →Luyện đề →CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Điều kiện : \(x \ge 0;x \ne 9\). Khi đó ta có
\(P = \frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right) + \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right) - 3 + 11\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{2x - 6\sqrt x + x + 4\sqrt x + 3 - 3 + 11\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)
\( = \frac{{3x + 9\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{3\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\)
b) Ta có \(x = \frac{{7 + 4\sqrt 3 }}{4} = {\left( {\frac{{2 + \sqrt 3 }}{2}} \right)^2} \Rightarrow \sqrt x = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{2}\).
Do đó \({\rm{P}} = \frac{{3 \cdot \frac{{2 + \sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{{2 + \sqrt 3 }}{2} - 3}} = \frac{{6 + 3\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{2}{{\sqrt 3 - 4}}\)\( = \frac{{6 + 3\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 - 4}} = \frac{{\left( {6 + 3\sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 3 + 4} \right)}}{{\left( {\sqrt 3 - 4} \right)\left( {\sqrt 3 + 4} \right)}}\; = \frac{{6\sqrt 3 + 24 + 9 + 12\sqrt 3 }}{{3 - 16}} = \frac{{ - \left( {33 + 18\sqrt 3 } \right)}}{{13}}\begin{array}{*{20}{r}}{}&\;\\{}&.\end{array}\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Điều kiện : \(x > 0;x \ne 9\). Khi đó ta có
\(P = \frac{{x + 3 + \sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 3}}\)
b) Xét hiệu\(P - \frac{1}{3} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 3}} - \frac{1}{3} = \frac{{3\sqrt x + 3 - \sqrt x - 3}}{{3\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{2\sqrt x }}{{3\left( {\sqrt x + 3} \right)}} > 0({\rm{\;v\`i \;}}x > 0){\rm{.\;}}\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập